あのぉー、まちがってる（みたいな）んですけど・・（２）

T_NAKAさん、かがみさん、どうも。

１）用語法について

この場合、「積集合」とあるのは、著者竹内外史氏のマイナーな用語法のようです。

本書、pp.70-71
「集合Ａがあたえられたとき、Ａのすべての部分集合全体からなる集合をＡの積集合といってＰ（Ａ）で表します。」

とありますので、通常の用語法では、「べき集合」と表現されているものです。

２）本書での証明

pp.72-76

「　さて、証明の本質的な所は同じなので、ここではＡが正の自然数全体の集合であるときすなわち、

　Ａ＝{１,２,３,・・・}

の場合にＡとＰ（Ａ）との間に一対一の対応がないことを証明します。さて万一、一対一の対応があったとすれば矛盾するという形で証明をおこないます。
　ＡとＰ（Ａ）との間に一対一の対応があったとします。Ａは正の自然数全体の集合ですからＡとＰ（Ａ）との間に一対Ａ一の対応があるということは、Ｐ（Ａ）の元つまり、Ａの部分集合に１番目の部分集合Ａ1、２番目の部分集合Ａ2、・・・・と数えて行って、

　イ）同じ部分集合を二度数えない。すなわちiとjとが異なっていればＡi≠Ａjである。

　ロ）数えもれがない。つまり、すべてのＡの部分集合は必ずＡ1、Ａ2、Ａ3、・・・のなかに出てくる。

という二つの条件をみたすようにできるということです。今、上のＡ1、Ａ2、Ａ3、・・・という列がこの二つの条件をみたしているとします。このときＡの部分集合Ｂを次の手続きで作るとします。

　１∉ Ａ1ならば１をＢのなかに入れる
　１∈Ａ1ならば１はＢに入れない
　２∉ Ａ2ならば２をＢのなかに入れる
　２∈Ａ2ならば２はＢに入れない
　・・・・
　ｎ∉ ＡnならばｎをＢのなかに入れる
　ｎ∈ＡnならばｎはＢに入れない
　・・・・

　これをすべての正の自然数ｎについて繰り返しますと、正の自然数の集合Ｂが完全に決まります。定義によって、

　ハ）ｎ∈Ｂ ⇔ ｎ∉ Ａn

がすべての正の自然数ｎに対して成立します。
　ところでＢは元はすべての正の自然数ですから、ＢはＡの部分集合になっています。ですからＢは　ロ）にしたがってＡ1、Ａ2、Ａ3、・・・のどこかに出てこなくてはなりません。いまＢがこの列のｍ番目に出てきたとします。すなわち、

　Ｂ＝Ａm

が成立したとします。上のハ）のｎにｍを代入しますと、

　ｍ∈Ｂ ⇔ ｍ∉ Ａm

がえられます。ところでＢ＝Ａmですから、

　ｍ∈Ａm ⇔ ｍ∉ Ａm

が得られて矛盾が出ました。

　この証明では n∈Ａn ⇔ n∉ Ａn

を考えるのですがこれは、

              Ａ1　　　　Ａ2　　　　  Ａ3　　　　 Ａ4

　　1　　1∈Ａ1　　1∈Ａ2　　　1∈Ａ3　　 1∈Ａ4

    2　　2∈Ａ2　　2∈Ａ2　　　2∈Ａ3　　 2∈Ａ4

    3　　3∈Ａ3　　3∈Ａ3　　　3∈Ａ3　　 3∈Ａ4

　 ・・      ・・   　  　・・            ・・            ・・

　この表のなかのちょうど対角線の所をとり出して考えているので、カントールの“対角線論法”と呼ばれて、この証明の外にもいろいろと有効に用いられている方法の一つです。」

３）正確を期すためには、週末、近隣の図書館で本書該当頁をご確認戴くか、書店 or 古本屋で実物を購入されることをお勧め致します。

４）現在、講談社にも問い合わせ中ですが、是とも非とも回答はありません。