Rechenkomplexität und Quantencomputing

Ich habe ChatGPT die folgende Frage gestellt. Ich werde die Antwort von ChatGPT zusammen mit der Frage veröffentlichen.

Frage:

In der Informatik werden zur Messung der Schwierigkeit von Berechnungen häufig Beispiele wie das Rucksackproblem und das Problem des Handlungsreisenden (TSP) herangezogen.
Bei der vollständigen Suche nach optimalen Lösungen wächst die benötigte Zeit proportional zu 2^n für das Rucksackproblem und zu n! für TSP.
Somit explodiert die Rechenzeit bereits dann, wenn n nur zweistellige Werte annimmt. Das bedeutet, dass selbst mit schnelleren Rechnern die Größe der lösbaren Instanzen kaum erweitert werden kann.

In den letzten Jahren ist jedoch die Realisierbarkeit von Quantencomputern ein viel diskutiertes Thema geworden.
Obwohl diese Technologie noch unreif ist, stellt sich die Frage: Wenn ein Quantencomputer die Leistungsfähigkeit heutiger Supercomputer erreichen würde, könnte er die oben beschriebene Explosion der Komplexität vermeiden und optimale Lösungen für Rucksackproblem und TSP leicht finden?

Oder ist diese Problemstellung selbst ein Kategorienfehler und daher nicht sinnvoll oder gültig formuliert?

Antwort von ChatGPT

Die Problematik lässt sich in zwei Hauptpunkte gliedern.

1. Kombinatorische Explosion bei Rucksack- und Handelsreisendenproblemen vs. Quantencomputer

·        Das Rucksackproblem und das Handelsreisendenproblem (TSP) sind typische „NP-schwere“ Probleme.

o   Bei der vollständigen Durchmusterung benötigt das Rucksackproblem (2^n) Zeit, TSP sogar (n!).

·        Quantencomputer ermöglichen in bestimmten Fällen deutliche Beschleunigungen. Beispiele:

o   Primfaktorzerlegung → Mit Shors Algorithmus exponentielle Beschleunigung.

o   Suchprobleme → Mit Grovers Algorithmus wird die Suche von (N) auf (\sqrt{N}) reduziert.

Für NP-schwere Probleme gilt jedoch: Kein bekannter Quantenalgorithmus reduziert exponentielle Laufzeit auf polynomiale Laufzeit.
Das heißt: Es gibt keinen Beleg dafür, dass Quantencomputer „magisch“ NP-schwere Probleme allgemein lösen könnten.

2. Technologischer Fortschritt und die Möglichkeit eines Kategorienfehlers

·        Quantenrechnen bietet vor allem asymptotische Verbesserungen oder Effizienzgewinne in Spezialfällen.

o   Mit Grovers Algorithmus reduziert sich das Rucksackproblem von (2^n) auf (2^{n/2}). Das ist zwar besser, bleibt aber exponentiell.

o   Beim TSP lassen sich in eingeschränkten Fällen (z. B. Dreiecksungleichung erfüllt) gewisse Beschleunigungen erzielen, jedoch keine polynomiale Lösung.

·        Die Annahme „Sobald Quantencomputer existieren, werden NP-schwere Probleme einfach“ entspricht daher fast einem Kategorienfehler.

o   Die Komplexitätstheorie mit Klassenhierarchien (P, NP, BQP usw.) zeigt theoretische Grenzen, die durch bloßen Hardwarefortschritt nicht überwunden werden.

o   BQP (quantum-polynomiale Zeit) wird nicht allgemein als umfassend für NP angesehen.

3. Realistische Perspektiven

·        Die Stärken des Quantenrechnens liegen eher bei Näherungsverfahren oder heuristischen Methoden, nicht bei exakter Optimierung.

·        Quanten-Annäherungsverfahren (z. B. D-Wave) werden bereits für das Auffinden nahezu optimaler Lösungen von Rucksack- oder TSP-Instanzen auf praktischen Skalen erforscht.

·        Exakte Lösungen für große Eingaben bleiben jedoch auch mit fortgeschrittener Quantentechnologie schwer erreichbar.

✅ Zusammenfassung

·        Auch mit Quantencomputern werden exakte Lösungen für Rucksack- und TSP-Probleme nicht unbedingt „einfach“.

·        Erwartbar sind nur teilweise Beschleunigungen und Verbesserungen bei Näherungs- und Heuristikmethoden.

·        Die Vorstellung „Quantenrechner = Universallöser für NP-schwere Probleme“ ist ein Missverständnis (Kategorienfehler).

·        Die Problemstellung ist sinnvoll, aber die erhofften Effekte des Quantenrechnens dürfen nicht überschätzt werden.

Diagram

·        P: Probleme, die in Polynomialzeit lösbar sind

·        NP: Probleme, deren Lösung in Polynomialzeit überprüfbar ist

·        NP-vollständig (NP-complete): Die Klasse der schwierigsten repräsentativen Probleme innerhalb von NP

·        NP-schwer (NP-hard): Probleme, die mindestens so schwierig wie NP sind und auch außerhalb von NP liegen können

·        BQP: Probleme, die durch Quantenberechnung in Polynomialzeit lösbar sind (einschließlich zum Beispiel der Primfaktorzerlegung, jedoch nicht notwendigerweise ganz NP)

👉 Wie dieses Diagramm zeigt, besteht das derzeitige Verständnis darin, dass Quantenberechnung (BQP) NP-schwere Probleme im Allgemeinen nicht in Polynomialzeit lösen kann.

Diagram（Hover your mouse pointer over the image below to display a clear separate screen.）

Computational Complexity and Quantum Computing

I asked ChatGPT the following question. I will post ChatGPT's response along with it.

Question

Question:
In computer science, when measuring computational hardness, examples such as the Knapsack Problem and the Traveling Salesman Problem (TSP) are often used.
For exhaustive search of optimal solutions, the required time grows proportionally to 2^n for the knapsack problem and n! for TSP.
Thus, even when n is only in the two-digit range, computation explodes quickly. This means that even with faster computers, scaling up solvable problem size remains very difficult.

Recently, the feasibility of quantum computers has been widely discussed. Although still immature technologically, if such a machine were to mature and reach feasibility comparable to today’s supercomputers, would it avoid the explosion of complexity above, and make it easy to search for optimal solutions to the knapsack and TSP?

Or does this very problem-setting involve a hidden category mistake, making the question invalid or meaningless?

ChatGPT's Answer

The issues can be organized into the following two points.

1. Computational Explosion in Knapsack and Traveling Salesman Problems vs. Quantum Computing

·The Knapsack Problem and the Traveling Salesman Problem (TSP) are typical "NP-hard" problems.

·  With brute-force search, the Knapsack problem requires (2^n) time, and TSP requires (n!) time.

·  Quantum computers indeed provide significant speed-ups in some problems. For example:

o   Integer factorization → Shor’s algorithm achieves exponential improvement.

o   Search-type problems → Grover’s algorithm reduces exhaustive search from (N) to (\sqrt{N}).

However, for NP-hard problems, no known quantum algorithm reduces exponential time to polynomial time.
In other words, there is no evidence that quantum computing can "magically" solve NP-hard problems in general.

2. Technological Progress and the Possibility of a Category Mistake

·        Quantum computing mainly provides asymptotic improvements or efficiency gains in special cases.

o   With Grover’s algorithm, the Knapsack problem can be reduced from (2^n) to (2^{n/2}). This is an improvement, but still exponential.

o   For TSP, some restricted cases (e.g., satisfying the triangle inequality) can benefit from quantum speed-ups, but a polynomial-time solution remains out of reach.

·        Thus, believing that "once quantum computers are realized, NP-hard problems become easy" is close to a category mistake.

o   The hierarchy of computational complexity classes (P, NP, BQP, etc.) suggests theoretical barriers that hardware progress alone cannot overcome.

o   BQP (bounded-error quantum polynomial time) is not widely believed to contain NP as a whole.

3. Practical Outlook

·        Quantum computing may be more impactful in approximation algorithms or heuristic approaches, not in exact optimization.

·        Quantum annealing (e.g., D-Wave) is actively researched for near-optimal solutions of Knapsack or TSP at practical scales.

·        However, finding exact optimal solutions for large inputs will likely remain hard, even with advanced quantum technology.

✅ Summary

·        Even with quantum computers, exact solutions to Knapsack or TSP will not necessarily become "easy".

·        What can be expected is partial acceleration and approximate/heuristic improvements.

·        Assuming "quantum computing = universal solver of NP-hard problems" is a misconception (a category mistake).

·        The problem setting itself is meaningful, but one must not exaggerate the effect of quantum computing.

 

Diagram
·        P: Problems solvable in polynomial time

·        NP: Problems for which a solution can be verified in polynomial time

·        NP-complete: The class of the most difficult representative problems within NP

·        NP-hard: Problems at least as hard as NP, possibly outside NP

·        BQP: Problems solvable in polynomial time by quantum computation (including, for example, integer factorization, but not necessarily all of NP)

👉 As this diagram shows, the current understanding is that quantum computation (BQP) does not in general solve NP-hard problems in polynomial time.

Diagram（Hover your mouse pointer over the image below to display a clear separate screen.）

計算複雑性と量子計算

ChatGPTに以下の質問をしました。ChatGPTの回答ともに掲示します。

質問:
計算機科学において、計算の難しさを計量する際の問題例として、ナップザック問題や巡回セールスマン問題が取り上げられます。
それらに対して、最適解をしらみつぶし法で探索すると、入力のサイズ n に対応する計算時間は、ナップザック問題では、２の n乗に比例して増加し、
巡回セールスマン問題では、nの階乗に比例して増加します。こうなると、入力サイズ n が２桁の範囲になるだけで、簡単に計算量が爆発します。
つまり、仮に計算機の演算速度が速くなっても、この種の問題では、最適解探索が実行可能な問題のサイズの増加は困難です。

しかし、近年、量子計算機の実装可能性が話題になっています。
まだテクノロジー的に未成熟ですが、もしこの技術が成熟し、現代のスーパーコンピュータ並みの feasibility を持つことができたなら、
上記の計算量爆発の問題は回避され、ナップザック問題や巡回セールスマン問題の最適解は容易に探索できるようになるのでしょうか。

あるいは、この２つのテーマを結びつける問題設定には、隠れたカテゴリー・ミステイクが潜在していて、有効あるいは有意味な問題設定ではないのでしょうか。

ChatGPT's Answer

論点を整理すると次の二点に分かれます。

1. ナップザック問題・巡回セールスマン問題の計算量爆発と量子計算機

·        ナップザック問題や**巡回セールスマン問題（TSP）**は典型的な「NP困難」問題です。
　　　o   ブルートフォース探索だとナップザックは (2^n)、TSPは (n!) の時間がかかります。

·        量子計算機は確かに一部の問題で大きな速度向上をもたらします。たとえば：
　　o   素因数分解 → Shorのアルゴリズムで指数関数的に速くなる。
　　o   探索系の問題 → Groverのアルゴリズムで全探索を (\sqrt{N}) に短縮できる。

しかし、NP困難問題に対して「指数時間が多項式時間に劇的に落ちる」ことを保証する量子アルゴリズムは 現在のところ存在しません。
つまり、量子計算が「魔法のように」NP困難問題を解決できる、という一般的な証拠はありません。

2. 技術的進歩とカテゴリー・ミステイクの可能性

·        量子計算で得られるのは 漸近的改善 や 特殊ケースでの効率化 です。
o   例えばGrover探索を用いてナップザック問題を解くと、全探索が (2^n \to 2^{n/2}) に短縮されます。これは改善ではあるが、依然として指数関数時間です。

o   TSPについても、特殊な制約がある場合（例：距離が三角不等式を満たす場合）には量子アルゴリズムで多少の効率化が議論されていますが、多項式時間解法には到達していません。

·        よって「量子計算機が完成すればNP困難問題は簡単に解ける」という理解は カテゴリー・ミステイク に近いです。

o   計算複雑性理論の階層構造（P、NP、BQPなど）は、ハードウェアの進歩だけでは越えられない理論的な壁を示しています。

o   BQP（量子多項式時間）はNP全体を含むと広く信じられているわけではありません。

3. 現実的な見通し

·        最適解探索ではなく、近似解やヒューリスティックを量子計算で高速化する、という方向には可能性があります。

·        たとえば量子アニーリング（D-Wave など）はナップザック問題やTSPの近似解を「現実的なサイズ」で探索する応用研究が盛んです。

·        ただし「厳密な最適解を、大規模入力に対して効率的に得る」ことは、量子計算が成熟しても難しいと考えられます。

✅ まとめ
量子計算機が完成しても、ナップザック問題や巡回セールスマン問題の最適解探索が「容易」になる保証はない。

·        得られるのは部分的な効率改善や近似的な解法の加速。

·        「量子計算機＝NP困難問題の万能解法」という理解は誤解（カテゴリー・ミステイク）にあたる。

·        したがって、問題設定自体は有意味だが、量子計算に期待される効果を誇張してはいけない。

 

図解

• P：多項式時間で解ける問題
• NP：解が与えられたときに多項式時間で検証できる問題
• NP-complete：NP内で最も難しいとされる代表的問題群
• NP-hard：NPの外も含む「少なくともNPと同じくらい難しい」問題
• BQP：量子計算で多項式時間に解ける問題（素因数分解などが含まれるが、NP全体を含むとは限らない）

👉 この図からわかるように、量子計算（BQP）はNP困難問題を一般に多項式時間で解けるわけではない、というのが現在の理解です。

Diagram （図にマウスポインタを重ねるとクリアな別画面がでます）

‘Empiriokritizismus’ von Noe Keiichi（野家啓一）1998

Der Empiriokritizismus ist eine Form der positivistischen Erkenntnistheorie, die auf reiner Erfahrung beruht. Er wurde von Richard Avenarius und Ernst Mach begründet und von Joseph Petzoldt und Heinrich Gomperz weitergeführt. Sein Einfluss blieb vorwiegend auf den deutschsprachigen Raum beschränkt, doch finden sich ähnliche Gedanken auch bei Karl Pearson in England. Dualistische Annahmen wie die zwischen physischen und psychischen Phänomenen, Subjekt und Objekt, Bewusstsein und Sein sowie metaphysische Zusätze wie Substanz und Kausalität wurden zurückgewiesen. Das Ziel der Erkenntnis bestand darin, einen rein empirischen Weltbegriff, der sich aus dieser Eliminierung ergab, gemäß dem Prinzip der Denkökonomie zu beschreiben. Die Thesen der „Überwindung des Geist-Körper-Dualismus“ und der „Rückkehr zu den unmittelbaren Gegebenheiten“ bildeten eine Grundströmung des späten 19. Jahrhunderts, gemeinsam mit William James’ radikalem Empirismus, Henri Bergsons Philosophie des Lebens und Nishida Kitarōs Philosophie der reinen Erfahrung. Seine wissenschaftstheoretische Seite beeinflusste den späteren logischen Positivismus über Mach und Pearson. Lenin verfasste zudem 1909 Materialismus und Empiriokritizismus, in dem er die idealistischen Tendenzen des Empiriokritizismus vom Standpunkt des Marxismus aus scharf kritisierte.
Noe Keichi, “Empirio-criticism,” Heibonsha World Encyclopedia, 1998

Es ist schon eine ganze Weile her, seit ich die obige Beschreibung zum ersten Mal gesehen habe, doch seltsamerweise ist sie mir im Gedächtnis geblieben und geht mir nicht mehr aus dem Kopf. Sie dürfte mit den Argumenten des Wissenschaftsphilosophen und Geisteshistorikers Stephen Toulmin zusammenhängen, die ich bereits in meinem Blog behandelt habe, sowie mit Akira Mizunamis „Die Parabel vom Zeigen auf den Mond“ und Yoshinori Shiozawas Diskussion über komplexe Systeme. Aber ich kann ihre wahre Natur immer noch nicht ganz erfassen. Vorerst werde ich sie als Notiz für spätere Referenz aufschreiben.

※See　ポアンカレ『科学と仮説』岩波文庫(1985年) Jules-Henri Poincaré, La Science et l’hypothèse(1902): 本に溺れたい

※See  野家啓一「経験批判論」1998: 本に溺れたい

‘Empirio-criticism’ by Noe Keiichi（野家啓一）1998

Empirio-criticism is a form of positivist epistemology based on pure experience. It was founded by Richard Avenarius and Ernst Mach, and carried on by Joseph Petzoldt and Heinrich Gomperz. Its influence remained mostly within the German-speaking world, but similar ideas can also be found in Karl Pearson in England. It rejected dualistic assumptions such as those between physical and psychological phenomena, subject and object, consciousness and existence, as well as metaphysical additions such as substance and causality. The goal of cognition was considered to be the description, according to the principle of the economy of thought, of a purely empirical concept of the world derived from this elimination. The theses of “overcoming mind–body dualism” and “return to immediate givenness” formed part of the basic intellectual currents at the end of the 19th century, in common with William James’s radical empiricism, Henri Bergson’s philosophy of life, and Nishida Kitarō’s philosophy of pure experience. Its scientific-theoretical aspect influenced later logical positivism through Mach and Pearson. Lenin, moreover, wrote Materialism and Empirio-Criticism (1909), in which he severely criticized the idealist tendencies of empirio-criticism from the standpoint of Marxism.
Noe Keichi, “Empirio-criticism,” Heibonsha World Encyclopedia, 1998

It's been quite some time since I first saw the above description, yet it strangely stuck with me and won't leave my mind. It should relate to the arguments of philosopher of science and intellectual historian Stephen Toulmin, which I've already covered on my blog, as well as Akira Mizunami's “The Parable of Pointing at the Moon” and Yoshinori Shiozawa's discussion of complex systems. But I still can't quite grasp its true nature. For now, I'll jot it down as a memo for future reference.

※See　ポアンカレ『科学と仮説』岩波文庫(1985年) Jules-Henri Poincaré, La Science et l’hypothèse(1902): 本に溺れたい

※See  野家啓一「経験批判論」1998: 本に溺れたい

李朝朝鮮において徳川日本より長く《奴婢制＝奴隷制》が維持されたのはなぜか？

塩沢由典先生から、弊記事コメント欄「二千年前の奴隷解放令／ The Emancipation Proclamation of 2,000 years ago: 本に溺れたい」に問題発見的な質問を頂きました。私も質問内容に不案内のため俄かには答えられませんでした。そこで、DeepSeekに尋ねてみました。

Q.「奴婢の制度は中国にも韓国・日本にもあったことは確かでしょうが、日本からは比較的早くに(少なくとも公的には)なくなったのに対し、韓国(朝鮮時代)には長く残ったのはなぜでしょうか。江戸時代にも、奴隷制とあまり差異のない人身売買はあったのでしょう。それでも、幕府の建前としては、無期の奉公は認めず、遊女などにもかならず年季をつけるようにしていたと聞きます。建前上とはいえ、韓国と日本とではかなりの違いが生まれていたとおもわれますが、この違いを理解する何かてかがりがありますか。」

DeepSeek's answer（20250228）

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「産業革命」の起源（２）／ The origins of the ‘Industrial Revolution’（２）

塩沢先生
コメントと興味深い記事のご紹介ありがとうございます。

見はるかすかぎり、風車が林立している農村、などというのは、壮観かつ何か心躍るものがありますね。

※参照　´Fryslan boppe´. An in-depth inspirational analysis of work rewarded with the 2024 Riksbank prize in economic sciences. | Real-World Economics Review Blog

ご紹介の記事の著者のいうように、'to mechanize production processes' を「産業革命」の核心とするならば、この史実は「産業革命」と言うに値します。

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プログラム解明科学とSMT理論／Program-Elucidation Science and SMT Theory

プログラム解明科学とは、故吉田民人が提唱しているものです。従来の、物理学を第一モデルとする自然科学は、自然界に内在する「法則による秩序」を探求する「法則定立科学」であり、人間社会に内在する「規則による秩序」を探求する社会科学は、「プログラム解明科学」と呼ぼう、というアイデアです。

一方、SMT理論とは、
Yoshinori Shiozawa, Masashi Morioka, Kazuhisa Taniguchi
Microfoundations of Evolutionary Economics
Springer; 1st ed. (2019/7/10) , 364 pages, ISBN-10 : 4431552669

によって、全世界に向けて発表された、新古典派経済学を代替する、経済学の基礎理論です。

SMT理論から生み出された第一の重要な発見は、限定合理下にある各企業が需要に応じて各自の産出量を決定する際、各自の過去の産出量実績の数回の平均に基づいて、各企業が需要予想を立てるなら、経済全体の数量調整過程は収束する（つまり発散しない）というものです。この帰結は、各企業が上乗せ価格方式によって販売価格を個別に決定し、個別に産出量を決定する、という完全に分散的意思決定のプロセスのままで、莫大なサイズの経済系が首尾よく運行することを示しています。この「数期の過去実績に基づいて需要予想をする」という点が、個々には人知の及ばない、巨大な市場経済がとりあえず作動するために必要な個別企業のプログラム行動、となる訳です。これが、吉田民人の言う社会科学において解明されるきべき「プログラム」、そのものであることは、自明でしょう。

ということで、Liah Greenfeld への書評も中途半端なので、恐縮ですが備忘録程度の記事となります。

※参照
heuristics としての「数学」について（ or 数学は科学か？）／ On "mathematics" as heuristics (or Is mathematics a science?): 本に溺れたい

塩沢由典『複雑さの帰結』1997年、の「解題集」

本書は、戦後日本の社会科学書のなかで、最も創造的、innovative な成果の一つです。その内容には、知識論（Knowledge theory）、人間行動論、習慣論（habit theory）も含まれ、人文学（主に理論哲学）にも影響を与えずにはおきません。従いまして私も本ブログにて幾度か論じているのですが、それにも関わらず出版社品切れとなっています。仕方が無いので、塩沢氏の他の著作のように文庫化されることを願いつつ、デジタルリソース化を弊ブログで試みることにしました。無論、著作権が存在しますから全文をデジタル化できません。

ただ、塩沢由典氏が単行本として論文集を編む際、収録論文の終りに大抵「解題」なる著者自身によるコメントが付されます。これは読者にとり、極めてありがたいものです。何故なら、執筆のいきさつ、執筆動機、論文集発行時現在での自己評価、補遺等を含むものだからです。この「解題」が丁度よい文量で各章に付随しています。これをデジタルリソース化してその全容を可能な限り多くの人々に知ってもらおうと計画しました。

いずれ、すべての各章「解題」を弊ブログに掲載する予定ですが、とりあえず、今回は、本書の中心論文である「複雑さの帰結」(1993年)の「解題」をupしてみることとします。

続きを読む "塩沢由典『複雑さの帰結』1997年、の「解題集」"

愚かな勉強法と賢い勉強法／ Stupid, or Smart Study Methods

Quora、というQ＆Aサイトでたまたま見かけたのが下記。

(25) 頭の悪い人間のする勉強方法は？ - Quora

ある回答者は、以下のように返信しました。

「解ってから先に進むと言うのが一番下手な勉強法です。」
「解らなくても良いからどんどん先に進む。ただし進みっぱなしでは駄目です。時々戻ってこなくてはならない。そうすると、あの時解っていなかったことが、驚くほど簡単に解っていることに気がつく。螺旋状の輪を描きながら先に進んで行くのです。」

続きを読む "愚かな勉強法と賢い勉強法／ Stupid, or Smart Study Methods"