Takagi, Teiji. „Ein Besuch bei David Hilbert“ 1932.

8. Oktober 1932 in Göttingen

Herr S.

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Kurz vor 19:15 Uhr lief ich auf dem Bürgersteig vor der Wilhelm-Weber-Straße 29 auf und ab. In letzter Zeit waren Sterne selten zu sehen, aber der Herbstwind war kühl geworden, und ein paar vereinzelte Lindenblätter lagen verstreut herum – eine perfekte Kulisse.

　Dort hatte ich ein Rendezvous mit einer gewissen Fräulein. Diese Fräulein ist Prof. Dr. Emmy Noether.*

＊ Anmerkung des Bloggers
Für Emmy Noether siehe bitte Folgendes,
Unser Blogbeitrag Fünf Begründer der modernen Mathematik: 本に溺れたい
　3. Emmy Noether, (1882 - 1935) 

Da ich ratlos wäre, wenn das Gespräch ins Stocken geraten würde, wenn ich Professor Hilbert alleine besuchen würde, hat sie sich freundlicherweise bereit erklärt, mich zu begleiten.

Wilhelm-Weber-Straße, Hausnummer 29. Es ist schon eine ganze Weile her, seit ich Professor H. das letzte Mal besucht habe. Dieses bescheidene, altmodische – nennen wir es „Holzgittertor“. Und dann dieser bescheidene Vorgarten. Doch in über dreißig Jahren sind die Bäume dicht gewachsen. Pflaumen oder Birnen – es ist zu dunkel, um das zu erkennen –, aber es muss die richtige Jahreszeit sein, und sicherlich zieren sie den Tisch des älteren Professors und seiner Frau. Die Eingangshalle war noch dunkel, aber N-san, die den Weg gut kannte, fragte kaum nach dem Weg. Sie ließ die Haushälterin, die „Ich bin da“ antwortete, zurück und führte mich prompt zum üblichen Gästezimmer. Er musste es am Telefon erfahren haben. „Ich wusste, dass Sie kommen würden. Schön, dass Sie mich besuchen“, sagte Professor H., der sofort herauskam. Professor H., der dieses Jahr siebzig wurde, sah ausgeruht aus, sein vertrautes jugendliches Gesicht strahlte vor Freude. Vor etwa vier oder fünf Jahren litt er an einer schweren, unheilbaren Krankheit – der lateinische Name dafür war mir bekannt, aber ich habe ihn inzwischen vergessen –, offenbar eine Lebererkrankung. Als er fast hoffnungslosem Zustand war, wurde in Amerika ein neues Medikament entdeckt, das ihm das Leben rettete. Da das Medikament allein jedoch nicht ganz zuverlässig war, isst er Berichten zufolge jeden Tag ein Viertelpfund rohe Leber. Trotzdem handelt es sich um eine unheilbare Krankheit, und wenn er diese Therapie abbrechen würde, hätte er nur noch wenige Wochen zu leben. Das wusstest du doch schon, oder? Aber die Therapie hat gewirkt, und er hat in diesem Jahr genug Kraft zurückgewonnen, um am Kongress in Zürich teilzunehmen.

Professor H hält, wie ich gehört habe, auch nach seiner Pensionierung vor zwei Jahren noch etwa einmal pro Woche freiwillig Vorlesungen an der Universität. Wahrscheinlich wie immer über grundlegende Mathematik. „Ich dachte, ich würde in diesem Wintersemester alle unerledigten Aufgaben erledigen, aber die Assistenten waren unerwartet kritisch – nun ja, man muss es nicht übertreiben. Ich werde es wohl langsam angehen müssen ... Formalismus ist entscheidend. Das muss jeder anerkennen. Aber es gibt Aspekte, die sich nicht allein mit Formalismus lösen lassen, und genau darin liegt das Problem ...“ Als ich den alten Professor wie in einem Monolog vor sich hin murmeln sah, konnte ich nicht anders, als still Tränen zu vergießen.

Als ich vor einigen Jahren eine populäre Erklärung der mathematischen Grundlagen verfasste, bemerkte Professor H., dass er jeden Kuckuck zum Singen bringen würde, um Erinnerungen für das ganze Leben zu schaffen. Damit wollte er natürlich seine Entschlossenheit zum Ausdruck bringen, die Grundlagen der Mathematik zu erforschen. Aufgrund der Unangemessenheit dieser Metapher bestand jedoch die Gefahr, dass sie bei den Lesern unbeabsichtigt einen fast spöttischen Eindruck hinterlassen könnte. Ich hatte vor, irgendwo die Bedeutung hinzuzufügen: „Die Grundlagen der Mathematik mögen vollständig sein oder auch nicht; ich wünsche Professor H. nur einen friedlichen Lebensabend.“ Doch ich habe vergessen, dies zu tun. Das ist mir gerade wieder eingefallen. Selbst während er täglich dreißig Monme rohe Leber isst, um eine unheilbare Krankheit zu bekämpfen, selbst wenn ein einst schnelles Pferd nun gelegentlich von jungen Assistenten an den Beinen hochgehoben werden muss, kann er einfach nicht davon ablassen, Beweise für das Ausschlussprinzip und Ähnliches zu schreiben. Seine verbleibenden Jahre zu genießen, kommt nicht in Frage – ist das nicht die Hölle auf Erden? Das Erschreckende daran ist, dass auch dies ein unheilbarer Fall von Wissenssuchsyndrom ist.

Nun, was Frau N. betrifft, so zeigt sie eindeutig Anzeichen von Verwirrung. Andererseits ist es kaum verwunderlich, dass es sich anders anfühlt, ihn nach zehn Jahren wiederzusehen, wenn man fast täglich davon hört.

Professor H wechselte oft das Thema. Auch soziale Probleme kamen zur Sprache. Es gibt zu viele Menschen. Die Erde ist zu klein. Aber der wissenschaftliche Fortschritt wird sicherlich einen Weg finden, diese Schwierigkeiten zu überwinden, und so weiter. Er schien auch Dinge zu sagen wie: „Nun, die Russen können doch nichts dagegen tun, oder?“

Das Gespräch ist allmählich transzendenter geworden. „Ich bin vom unendlichen Fortschritt der Menschheit überzeugt. Schließlich sind fünftausend Jahre Menschheitsgeschichte nur ein Bruchteil im Vergleich zur Unendlichkeit der Zeit. Aber haben wir in dieser Zeitspanne nicht schon so viel Fortschritt erzielt? Nein, es ist weit mehr als das. Wie die Wissenschaft erklärt, haben wir uns über Milliarden von Jahren von etwas wie einer Blase zu den Menschen von heute entwickelt – ob Milliarden oder Billionen, das ist bekannt. In den unendlichen Jahren, die vor uns liegen, werden wir unendlich weiter voranschreiten ...“

Als der Milliarden Jahre alte Felsen freigelegt wurde, nickte mir Frau N. zu. Wir standen an einem Punkt unendlichen Fortschritts. Nachdem ich diese interessante Geschichte gehört hatte, saß ich noch lange da. Sie müssen ziemlich müde sein. Vielen Dank. Gute Nacht.

Als ich später am Abend von Herrn C. hörte, schien es, dass Professor H.s Vortrag über eine Milliarde Jahre hier in letzter Zeit ziemlich berühmt geworden war. Er fragte, ob auch Sie von Professor H. von der Milliarde Jahre gehört hätten. Anscheinend liest der Professor seit kurzem gerne Wells' „Outline of History“ (Ich habe gehört, dass die deutsche Übersetzung dieses Buches derzeit weit verbreitet ist).

Wenn der Professor Pausen von der Beweistheorie einlegen kann, um Wells zu lesen oder über den Fortschritt der Menschheit über eine Milliarde Jahre nachzudenken, ist das völlig in Ordnung. Es spielt keine Rolle, wenn die jungen Leute daraus Klatsch machen und sich darüber amüsieren. Vor allem aber: Hurra!

Ich habe von verschiedenen Leuten Anekdoten über Professor H gehört.

Es war der Abend, an dem Gäste zum Professor nach Hause kommen sollten. Als die vereinbarte Zeit näher rückte, fiel Frau Kates Blick zufällig auf die Kleidung des Professors und sie rief aus: „Oh, David, du musst deine Krawatte wechseln. Schnell, schnell!“, sagte sie und jagte ihn die Treppe hinauf. Bald waren alle Gäste eingetroffen, aber egal wie lange sie warteten, der Professor kam nicht herunter. Als sie das Dienstmädchen schickten, um nach ihm zu sehen, fanden sie ihn gemütlich schlafend in seinem Bett.
　　　　　　〔Laut Herrn A：Das Lösen der Krawatte ist eine analytische Erweiterung!〕

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An einem Montag während des Unterrichts bemerkte ein Student offenbar ein Loch in der Hose des Professors. Am Dienstag war das Loch immer noch da. Nachdem man es im Auge behalten hatte, blieb das Loch auch am Mittwoch, Donnerstag und Freitag unverändert, wodurch die Hose des Professors berühmt wurde. Also diskutierten alle, wie man den Professor diskret darauf aufmerksam machen könnte. Eines Tages in der folgenden Woche, nach der üblichen Seminarübung, muss der Professor während eines Spaziergangs gegen einen Lkw-Reifen oder etwas Ähnliches gestoßen sein. Ein Student nutzte den Moment und rief: „Vorsicht! Oh je, Ihre Hose ist beschädigt!“ Der Professor antwortete: „Lassen Sie mich sehen, wo? Ah, dieses Loch? Das war wohl schon im letzten Semester da.“

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Noch eine. Diese ist ebenfalls kurz, aber sehr typisch für den Professor. Eines Tages kam ein Besucher zum Professor nach Hause. Es schien sich um einen eher formellen Besuch zu handeln. Nachdem sich Gastgeber und Gast niedergelassen hatten und sich zwei, drei Minuten lang über das schlechte Wetter unterhalten hatten, stand der Professor plötzlich auf, sah seine Frau an und sagte: „Hey, Keite, da wir ihn schon eine ganze Weile warten lassen, sollen wir jetzt zu Abend essen?“
...

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※Die obigen Zitate stammen alle aus dem unten aufgeführten Buch.

Takagi, Teiji. Eine Geschichte der Mathematik in der frühen Neuzeit. Iwanami Bunko, August 1995. Anhang 1: Bericht über den Besuch bei Hilbert (S. 215–220).

Takagi, Teiji. “A Visit to David Hilbert” 1932.

October 8, 1932, in Göttingen

Mr. S

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　Shortly before 7:15 p.m., I paced back and forth on the sidewalk in front of Wilhelm Weber Street 29. It was rare to see stars lately, but the autumn wind had grown chilly, and a few scattered linden leaves lay strewn about—a perfect setting.

　There I had a rendezvous with a certain Fraulein. That Fraulein is Prof. Dr. Emmy Noether＊

＊ Blogger's Note
For Emmy Noether, please refer to the following,
Our blog post Five Founders of Modern Mathematics: 本に溺れたい
　3. Emmy Noether, (1882 - 1935) 

Since I'd be at a loss if the conversation stalled when visiting Professor Hilbert alone, she kindly agreed to accompany me.

Wilhelm Weber Street, Number 29. It's been quite a while since I last visited Professor H's residence. That modest, old-fashioned—let's call it a “slatted wooden gate.” And then that modest front garden. Yet over thirty years, the trees have grown thick. Plums or pears—it's too dark to tell—but it must be the season, and surely they're gracing the elderly professor and his wife's table. The entrance hall was still dim, but N-san, who knew the way well, hardly asked for directions. Leaving the maid who answered “I'm here” behind, she promptly led me to the usual guest room. He must have been told by phone. “I knew you were coming. Good of you to visit,” said Professor H, coming out immediately. Professor H, who turned seventy this year, looked well-rested, his familiar boyish face radiant with a smile. Some four or five years ago, he suffered from a severe, incurable illness—the Latin name for it was something I heard but have since forgotten—apparently a liver disorder. When he was nearly in a hopeless state, a new drug was discovered in America, and that saved his life. However, since the medicine alone wasn't entirely reliable, he reportedly eats a quarter pound of raw liver every day. Even so, it's an incurable disease, and if he were to stop this therapy, his life would be measured in weeks. You already knew this, didn't you? But the therapy worked, and he regained enough strength this year to attend the Zurich Congress.

Professor H, I hear, even after retiring two years ago, still gives lectures freely at the university about once a week. Probably on foundational mathematics, as usual. "I thought I'd finish up all the unfinished business this winter semester, but the assistants were unexpectedly critical—well, well, no need to push it. I suppose I'll just have to take it slowly... Formalism is crucial. Everyone must acknowledge that. But there are aspects that can't be resolved by Formalism alone, and that's where the problem lies..." Watching the old professor mutter on and on like a soliloquy, I couldn't help but shed silent tears.

Several years ago, when I wrote a popular explanation of mathematical foundations, Professor H remarked that he would make every cuckoo sing for the memories of a lifetime. This was, of course, meant to express his determination to resolve foundational mathematics. However, due to the metaphor's inappropriateness, there was a risk it might unintentionally give readers an impression bordering on mockery. I had intended to add somewhere the meaning: “Foundational mathematics may or may not be completed; I only wish Professor H a peaceful remainder of his life.” Yet I forgot to do so. I just remembered it now. Even while eating thirty monme of raw liver daily to battle an incurable disease, even as a once-swift steed now occasionally has its legs lifted by young assistants, he simply cannot refrain from writing proofs of the exclusion principle and such. Enjoying his remaining years is out of the question—isn't this a living hell? The terrifying thing is, this too is an incurable case of knowledge-seeking syndrome.

Now, as for Miss. N, she clearly shows signs of confusion. Then again, hearing about it almost daily, it's hardly surprising that meeting him after ten years feels different.

Professor H often changed the subject. Social issues came up too. There are too many people. The Earth is too small. But scientific progress will surely find a way to overcome these difficulties, and so on. He also seemed to say things like, “Well, the Russians can't do anything about it, can they?”

The conversation has gradually become more transcendent. "I am convinced of humanity's infinite progress. After all, five thousand years of human history are but a mere fraction compared to the infinity of time. Yet within that span, have we not achieved this much progress? No, it is far more than that. As science explains, over billions of years, we have progressed from something like a bubble to the humans of today—be it billions or trillions, it is known. In the infinite years to come, we shall progress infinitely..."

When the billion-year-old rock was uncovered, Miss. N gave me a nod. We stood at the point of infinite progress. Having heard such an interesting story, I found myself sitting for a long time. You must be quite tired. Thank you very much. Good night.

Later that evening, when I heard from Mr. C, it seems Professor H's talk about a billion years has recently become quite famous around here. It seems he was asking if you too had heard about the billion years from Professor H. Apparently, the professor has recently been fond of reading Wells' Outline of History. (That particular volume—I hear its German translation is currently being widely circulated.)

If the professor can take breaks from proof theory to read Wells or meditate on human progress over a billion years, that's perfectly fine. It doesn't matter if the young people turn it into gossip and have fun with it. First and foremost, hurrah!

I've heard anecdotes about Professor H from various people.

　It was the evening when guests were to visit the professor's home. As the appointed hour drew near, Mrs. Kate happened to glance at the professor's attire and exclaimed, "Oh, David, you must change your tie. Quickly, quickly!" she said, chasing him upstairs. Soon the guests had all arrived, but no matter how long they waited, the professor didn't come down. When they sent the maid to look, they found him comfortably asleep in bed.
　　　　　　〔According to Mr. A：The analytical extension of untying a tie!〕

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One Monday during class, a student apparently noticed a hole in the professor's trousers. On Tuesday, the hole was still there. After keeping an eye on it, the hole remained unchanged on Wednesday, Thursday, and Friday, making the professor's trousers famous. So everyone discussed how to discreetly bring it to the professor's attention. One day the following week, after the usual seminar exercise, during a walk, the professor must have brushed against a truck tire or something. Seizing the moment, a student exclaimed, “Careful! Oh dear, your trousers are damaged!” The professor replied, “Let me see, where? Ah, this hole? It seems it was already there last semester.”

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One more. This is also brief, but very much like the professor. One day, a visitor came to the professor's house. It seems it was a somewhat formal visit. After the host and guest had settled down and exchanged pleasantries for two or three minutes about how the weather was bad, the professor suddenly stood up, looked at his wife, and said, “Hey, Keite, since we've kept him waiting quite a while, shall we have dinner now?”
...

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※The above are all quotations from the book below.

Takagi, Teiji. A History of Mathematics in the Early Modern Period. Iwanami Bunko, August 1995. Appendix 1: Account of Visiting Hilbert (pp. 215-220).

高木貞治「ヒルベルト訪問記」1932

1932年10月8日、ゲッチンゲンに於いて

S－君

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　晩の7時15分少し前から Wilhelm Weber 町29番地の前の歩道を僕は行きつ戻りつしていました。星の見えたのは近頃珍しいが、秋風が冷っこくなってリンデの落葉が二ひら三ひら散らばっているなどは誂え向きの道具立てです。

　其処で僕は或る Fraulein と rendez-vous があったのです。フロイラインというのは Prof. Dr. Emmy Noether＊ 女史です！

＊ ブログ主註 Emmy Noether については、
弊ブログ記事  現代数学の５人の建設者たち: 本に溺れたい の、3. Emmy Noether, (1882 - 1935) を参照。

ヒルベルト先生を訪問するのに、僕一人では話が途切れたときに困るだろうというて、親切な N さんが同行してくれる約束なのです。

　Wilhelm Weber の町29番地。H先生のお宅も随分久しいものですねェ。昔ながらのささやかな ―あれは「柴折戸」としておきたい。それから広くもないあの「前栽」。それはしかしながら三十年間に木立が茂って、李だか梨だか、暗くて分からないが、丁度季節ではあり、定めて老先生夫婦の食卓を賑わせていることでしょう。玄関は矢張り暗いが、勝手を知ったＮさんは殆ど案内を乞わないで、「来ましたよ」の科白と取次ぎに出た女中とを後に残して、さっさと例の客間へ僕を導きました。電話で言ってあったのでしょう。「承知していましたよ。よく来てくれたねェ」と言いつつ H 先生は直ぐ出て来られました。今年丁度七十歳の H 先生は血色もよく、昔ながらの童顔に微笑を湛えていられます。四五年前に先生は難治の重病で、病名はラテン語でなんとやら、聞いても忘れましたが、肝臓の故障らしい。一時は殆ど絶望の状態に陥られました頃、丁度アメリカで新薬が発見されて、其の為に一命を取り留めたということです。しかし、その薬だけでは効験不確だから、毎日生肝を四半斤ずつ食っておられるそうです。それでも不治の病だから、若しもこの療法を中止するならば、生命は週を以って数うべきだというのです。これは君も既にご承知でしたね。唯々療法の効験が現れて、今年チューリヒのコングレスへ出掛けるほどの元気が出たのです。

　H 先生は一昨年か、退職の後にも大学で毎週一回位ずつ、自由に講義をしているそうです。例の数学基礎論などでしょう。「この冬学期には未だ片付いていない事を全部やってしまおうと思ったがね、助手達が存外批判的（kritisch）でね ーまあまあ無理しないで、ぼつぼつやるより外はなかろう・・・Formalismus（形式論）は重大だ。それは誰でも認めなくてはならない。しかしその Formalismus ばかりでは済ませない所があってね、そこに問題があるのだがね・・・」。くどくどと独り言のようにつぶやく老先生を見て、僕は暗涙を禁ずることを得ませんでした。

　数年前に僕は数学基礎論に関して通俗的の解説を述べた折に、H 先生は一生の思い出に凡てのホトトギスを鳴かせてみせるのだというようなことを書きました。それは勿論数学基礎論を解決し了る意気込みを言った積りなのですが、比喩が不適切である為に、僕の意志にない所の、嘲笑というような印象を読者に与える虞がありましたから、「数学基礎論は完成してもよい、又は完成しなくてもよい、只 H 先生は余生を安楽に送られることを望む」という意味を、何処かへ書き入れようと思いながら、それを忘れてしまいました。僕は今それを思い出したのです。毎日三十匁の生肝を食って不治の難病と戦いつつも、駿馬も老いては揚足を若い助手連に時々は取られながらも、どうしても排中律の証明等等を書かずには居られないのでしょう。余生を楽しむなどは論外で、生きながらの餓鬼道ではありませんか。恐ろしいのは、これも不治なる知識追求症です。

　さて N さんはと見ると、これは又明らかに困惑の色を表しています。尤も毎日のように聞かされているのでは、十年振りに会ったものと感じが違うのも止むを得ないでしょう。

　H 先生はしばしば話題を転じました。社会問題といったようなものも出ました。人間があまりにも多い。地球があまりに狭い。しかし科学の進歩は、どうにかして難局を打開するだろう、等等。「なに、ロシヤ人などには何も出来やせんがね」などということもあったようです。

　話は段々超越的になってきました。「予は人間の無窮の進歩を確信する。そもそも人間の歴史の五千年などは時の無窮に比べて零である。然るに其の間に我々は現在これだけの進歩をしたではないか。いや、それだけではない。科学が説明する如く、幾 milliard の歳月の間に我々は泡のようなものから今日の人間にまで進歩したのだ、億といい、兆といい、知れたものだ。この後無窮の歳月に於て我々は無限に進歩するのである・・・」

　miliard 年前の石塊が出た頃に、N さんが僕に目くばせをしました。無限の進歩の所で僕等は起立しました。面白い御話を承って思わず長座を致しました。さぞ御疲れでしょう。有難うございました。御休みなさい。

　後でその晩 C 氏の所で聞けば、H 先生の milliard 年の話は近頃当地で有名だそうです。君も milliard 聞かされたか、というようなことらしい。近頃先生は Wells の世界史概説を愛読していられるそうです。（例の一冊物、近頃そのドイツ訳が盛んに行われている由）。

　先生が証明論の休み休みに、Wells を読んだり、十億年間の人間の進歩について瞑想したりしていられるならば、それは誠に結構です。若い人達がそれをゴシップにして興じても、構わないでしょう。先ずはめでたし、めでたし！

　H 先生の逸話を方々で聞きました。

　先生の宅でお客をした晩だそうです。客の来る時刻が近づいたときに、ふと先生の服装を見たケーテ夫人が、
「オー、ダヴィッドよ、汝は汝のネクタイを取り替えねばならない。早く、早く」と言うて、先生を二階へ追い立てたそうです。そのうちに客が揃って、待てど暮らせど先生は降りて来ない。女中を見せにやったらば、先生はベッドへ入って楽々と眠っていた。
　　　　　　〔Ａ君曰く：ネクタイを解くことの解析的延長！〕

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　或る月曜日の講義中に、先生のズボンに穴があいているのを、或る学生が発見したそうです。火曜日に見るとやはり穴があいている。それから注意していると、水曜日にも木曜日にも金曜日にも元のままで、先生のズボンの穴が有名になりました。そこで皆が相談して何とかかどの立たない様な方法で、先生に注意しようということになりました。次の週の何曜日か、例のゼミナールの演習の後の散歩の折、先生がトラックの輪にでも触れたことがあったのでしょう。或る学生がその機会を捉えて「危ない！　オヤ、先生のズボンが痛みましたよ」と申しました。先生曰く、「どれ、どこが？　アア、この穴か。これなら前学期にもあいていたようだよ」。

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　も一つ。これも短いが、如何にも先生らしい。或る日先生の宅に来客があった。何かかど立った訪問であったそうです。主客坐定まって、御機嫌がよいの、天気が悪いのというような話がニ三分あった時に、先生がつと起ち上って夫人を顧みながら、「ネエ、ケーテ、大分御手間を取らせたから、もう御飯にしようじゃないか」
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※上記は、すべて下記の本からの引用です。

高木貞治『近世数学史談』1995年8月、岩波文庫、附録 1 ヒルベルト訪問記（pp.215-220）

Rechenkomplexität und Quantencomputing

Ich habe ChatGPT die folgende Frage gestellt. Ich werde die Antwort von ChatGPT zusammen mit der Frage veröffentlichen.

Frage:

In der Informatik werden zur Messung der Schwierigkeit von Berechnungen häufig Beispiele wie das Rucksackproblem und das Problem des Handlungsreisenden (TSP) herangezogen.
Bei der vollständigen Suche nach optimalen Lösungen wächst die benötigte Zeit proportional zu 2^n für das Rucksackproblem und zu n! für TSP.
Somit explodiert die Rechenzeit bereits dann, wenn n nur zweistellige Werte annimmt. Das bedeutet, dass selbst mit schnelleren Rechnern die Größe der lösbaren Instanzen kaum erweitert werden kann.

In den letzten Jahren ist jedoch die Realisierbarkeit von Quantencomputern ein viel diskutiertes Thema geworden.
Obwohl diese Technologie noch unreif ist, stellt sich die Frage: Wenn ein Quantencomputer die Leistungsfähigkeit heutiger Supercomputer erreichen würde, könnte er die oben beschriebene Explosion der Komplexität vermeiden und optimale Lösungen für Rucksackproblem und TSP leicht finden?

Oder ist diese Problemstellung selbst ein Kategorienfehler und daher nicht sinnvoll oder gültig formuliert?

Antwort von ChatGPT

Die Problematik lässt sich in zwei Hauptpunkte gliedern.

1. Kombinatorische Explosion bei Rucksack- und Handelsreisendenproblemen vs. Quantencomputer

·        Das Rucksackproblem und das Handelsreisendenproblem (TSP) sind typische „NP-schwere“ Probleme.

o   Bei der vollständigen Durchmusterung benötigt das Rucksackproblem (2^n) Zeit, TSP sogar (n!).

·        Quantencomputer ermöglichen in bestimmten Fällen deutliche Beschleunigungen. Beispiele:

o   Primfaktorzerlegung → Mit Shors Algorithmus exponentielle Beschleunigung.

o   Suchprobleme → Mit Grovers Algorithmus wird die Suche von (N) auf (\sqrt{N}) reduziert.

Für NP-schwere Probleme gilt jedoch: Kein bekannter Quantenalgorithmus reduziert exponentielle Laufzeit auf polynomiale Laufzeit.
Das heißt: Es gibt keinen Beleg dafür, dass Quantencomputer „magisch“ NP-schwere Probleme allgemein lösen könnten.

2. Technologischer Fortschritt und die Möglichkeit eines Kategorienfehlers

·        Quantenrechnen bietet vor allem asymptotische Verbesserungen oder Effizienzgewinne in Spezialfällen.

o   Mit Grovers Algorithmus reduziert sich das Rucksackproblem von (2^n) auf (2^{n/2}). Das ist zwar besser, bleibt aber exponentiell.

o   Beim TSP lassen sich in eingeschränkten Fällen (z. B. Dreiecksungleichung erfüllt) gewisse Beschleunigungen erzielen, jedoch keine polynomiale Lösung.

·        Die Annahme „Sobald Quantencomputer existieren, werden NP-schwere Probleme einfach“ entspricht daher fast einem Kategorienfehler.

o   Die Komplexitätstheorie mit Klassenhierarchien (P, NP, BQP usw.) zeigt theoretische Grenzen, die durch bloßen Hardwarefortschritt nicht überwunden werden.

o   BQP (quantum-polynomiale Zeit) wird nicht allgemein als umfassend für NP angesehen.

3. Realistische Perspektiven

·        Die Stärken des Quantenrechnens liegen eher bei Näherungsverfahren oder heuristischen Methoden, nicht bei exakter Optimierung.

·        Quanten-Annäherungsverfahren (z. B. D-Wave) werden bereits für das Auffinden nahezu optimaler Lösungen von Rucksack- oder TSP-Instanzen auf praktischen Skalen erforscht.

·        Exakte Lösungen für große Eingaben bleiben jedoch auch mit fortgeschrittener Quantentechnologie schwer erreichbar.

✅ Zusammenfassung

·        Auch mit Quantencomputern werden exakte Lösungen für Rucksack- und TSP-Probleme nicht unbedingt „einfach“.

·        Erwartbar sind nur teilweise Beschleunigungen und Verbesserungen bei Näherungs- und Heuristikmethoden.

·        Die Vorstellung „Quantenrechner = Universallöser für NP-schwere Probleme“ ist ein Missverständnis (Kategorienfehler).

·        Die Problemstellung ist sinnvoll, aber die erhofften Effekte des Quantenrechnens dürfen nicht überschätzt werden.

Diagram

·        P: Probleme, die in Polynomialzeit lösbar sind

·        NP: Probleme, deren Lösung in Polynomialzeit überprüfbar ist

·        NP-vollständig (NP-complete): Die Klasse der schwierigsten repräsentativen Probleme innerhalb von NP

·        NP-schwer (NP-hard): Probleme, die mindestens so schwierig wie NP sind und auch außerhalb von NP liegen können

·        BQP: Probleme, die durch Quantenberechnung in Polynomialzeit lösbar sind (einschließlich zum Beispiel der Primfaktorzerlegung, jedoch nicht notwendigerweise ganz NP)

👉 Wie dieses Diagramm zeigt, besteht das derzeitige Verständnis darin, dass Quantenberechnung (BQP) NP-schwere Probleme im Allgemeinen nicht in Polynomialzeit lösen kann.

Diagram（Hover your mouse pointer over the image below to display a clear separate screen.）

計算複雑性と量子計算

ChatGPTに以下の質問をしました。ChatGPTの回答ともに掲示します。

質問:
計算機科学において、計算の難しさを計量する際の問題例として、ナップザック問題や巡回セールスマン問題が取り上げられます。
それらに対して、最適解をしらみつぶし法で探索すると、入力のサイズ n に対応する計算時間は、ナップザック問題では、２の n乗に比例して増加し、
巡回セールスマン問題では、nの階乗に比例して増加します。こうなると、入力サイズ n が２桁の範囲になるだけで、簡単に計算量が爆発します。
つまり、仮に計算機の演算速度が速くなっても、この種の問題では、最適解探索が実行可能な問題のサイズの増加は困難です。

しかし、近年、量子計算機の実装可能性が話題になっています。
まだテクノロジー的に未成熟ですが、もしこの技術が成熟し、現代のスーパーコンピュータ並みの feasibility を持つことができたなら、
上記の計算量爆発の問題は回避され、ナップザック問題や巡回セールスマン問題の最適解は容易に探索できるようになるのでしょうか。

あるいは、この２つのテーマを結びつける問題設定には、隠れたカテゴリー・ミステイクが潜在していて、有効あるいは有意味な問題設定ではないのでしょうか。

ChatGPT's Answer

論点を整理すると次の二点に分かれます。

1. ナップザック問題・巡回セールスマン問題の計算量爆発と量子計算機

·        ナップザック問題や**巡回セールスマン問題（TSP）**は典型的な「NP困難」問題です。
　　　o   ブルートフォース探索だとナップザックは (2^n)、TSPは (n!) の時間がかかります。

·        量子計算機は確かに一部の問題で大きな速度向上をもたらします。たとえば：
　　o   素因数分解 → Shorのアルゴリズムで指数関数的に速くなる。
　　o   探索系の問題 → Groverのアルゴリズムで全探索を (\sqrt{N}) に短縮できる。

しかし、NP困難問題に対して「指数時間が多項式時間に劇的に落ちる」ことを保証する量子アルゴリズムは 現在のところ存在しません。
つまり、量子計算が「魔法のように」NP困難問題を解決できる、という一般的な証拠はありません。

2. 技術的進歩とカテゴリー・ミステイクの可能性

·        量子計算で得られるのは 漸近的改善 や 特殊ケースでの効率化 です。
o   例えばGrover探索を用いてナップザック問題を解くと、全探索が (2^n \to 2^{n/2}) に短縮されます。これは改善ではあるが、依然として指数関数時間です。

o   TSPについても、特殊な制約がある場合（例：距離が三角不等式を満たす場合）には量子アルゴリズムで多少の効率化が議論されていますが、多項式時間解法には到達していません。

·        よって「量子計算機が完成すればNP困難問題は簡単に解ける」という理解は カテゴリー・ミステイク に近いです。

o   計算複雑性理論の階層構造（P、NP、BQPなど）は、ハードウェアの進歩だけでは越えられない理論的な壁を示しています。

o   BQP（量子多項式時間）はNP全体を含むと広く信じられているわけではありません。

3. 現実的な見通し

·        最適解探索ではなく、近似解やヒューリスティックを量子計算で高速化する、という方向には可能性があります。

·        たとえば量子アニーリング（D-Wave など）はナップザック問題やTSPの近似解を「現実的なサイズ」で探索する応用研究が盛んです。

·        ただし「厳密な最適解を、大規模入力に対して効率的に得る」ことは、量子計算が成熟しても難しいと考えられます。

✅ まとめ
量子計算機が完成しても、ナップザック問題や巡回セールスマン問題の最適解探索が「容易」になる保証はない。

·        得られるのは部分的な効率改善や近似的な解法の加速。

·        「量子計算機＝NP困難問題の万能解法」という理解は誤解（カテゴリー・ミステイク）にあたる。

·        したがって、問題設定自体は有意味だが、量子計算に期待される効果を誇張してはいけない。

 

図解

• P：多項式時間で解ける問題
• NP：解が与えられたときに多項式時間で検証できる問題
• NP-complete：NP内で最も難しいとされる代表的問題群
• NP-hard：NPの外も含む「少なくともNPと同じくらい難しい」問題
• BQP：量子計算で多項式時間に解ける問題（素因数分解などが含まれるが、NP全体を含むとは限らない）

👉 この図からわかるように、量子計算（BQP）はNP困難問題を一般に多項式時間で解けるわけではない、というのが現在の理解です。

Diagram （図にマウスポインタを重ねるとクリアな別画面がでます）

Fünf Begründer der modernen Mathematik

Frage (Benutzer):

Aus der Sicht der Mathematik des 21. Jahrhunderts: Bitte nennen Sie fünf Mathematiker, die zwischen dem späten 19. und frühen 20. Jahrhundert tätig waren und die — fächerübergreifend — den tiefsten und weitreichendsten Einfluss ausgeübt haben oder weiterhin ausüben. Fügen Sie bitte auch kurz die Gründe hinzu.

Antwort (ChatGPT):

Verstanden.
Aus der Sicht der modernen Mathematik im 21. Jahrhundert sind dies fünf Persönlichkeiten, die im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert tätig waren und deren Einfluss die Disziplinen überschritt und bis heute tief und nachhaltig wirkt. Die Gründe sind hier kurz zusammengefasst.

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1. David Hilbert (1862–1943)

• Grund:

  • Durch Grundlagenforschung, Axiomatisierung der Geometrie, Hilberträume und die berühmten 23 Hilbertschen Probleme übte er Einfluss von der reinen Mathematik bis zur Physik (z. B. der Formalisierung der Quantenmechanik) aus.

  • Sein Programm der Axiomatisierung und Formalisierung prägte direkt die moderne Logik und Informatik.

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2. Henri Poincaré (1854–1912)

• Grund:

  • Mitbegründer der Topologie und Wegbereiter der Theorie dynamischer Systeme und des Chaos.

  • Führte Überlegungen zur speziellen Relativitätstheorie und verband Mathematik mit Physik.

  • Seine Reflexionen über Kreativität und mathematische Erfindung bleiben bis heute wirksam.

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3. Emmy Noether (1882–1935)

• Grund:

  • Trieb die abstrakte Algebra (Ringe, Ideale, Darstellungstheorie) voran und schuf die strukturelle Sprache der modernen Mathematik.

  • In der Physik etablierte der Noethersche Satz den fundamentalen Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen.

  • Symbolfigur für die Überwindung geschlechtsspezifischer Barrieren in der Wissenschaft.

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4. Georg Cantor (1845–1918)

• Grund:

  • Begründer der Mengenlehre und Ermöglicher einer strengen Behandlung des Unendlichen.

  • Legte Grundlagen für Topologie, Maßtheorie und moderne Analysis.

  • Veränderte das Paradigma der Mathematik radikal.

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5. Kurt Gödel (1906–1978)

• Grund:

  • Mit den Unvollständigkeitssätzen zeigte er die Grenzen des Hilbertschen Programms und beeinflusste Mathematik, Logik und Philosophie nachhaltig.

  • Bewies die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese und formte die moderne Mengenlehre.

  • Seine Arbeiten beeinflussten auch die Grundlagen der Informatik und der Berechnungstheorie.

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✅ Diese fünf Persönlichkeiten haben die Struktur des modernen mathematischen Denkens geprägt und Reine und Angewandte Mathematik gleichermaßen verbunden.

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Zuordnungstabelle: Mathematiker und ihr Einfluss auf die Hauptgebiete

Mathematiker	Analysis	Algebra	Geometrie	Topologie	Grundlagen / Logik	Anwendungen (Physik usw.)
David Hilbert	Strenge in der Analysis (Hilberträume, Integralgleichungen)	Einfluss auf die Algebra durch Axiomatisierung	Axiomatisierung der Geometrie (Grundlagen der Geometrie)	Beiträge zur Funktionalanalysis und topologischen Begriffen	Hilberts Programm, axiomatische Grundlegung	Formulierung der Quantenmechanik (Hilbertraum)
Henri Poincaré	Nichtlineare Analysis, Theorie dynamischer Systeme	Frühformen der algebraischen Topologie	Grundlagen der nichteuklidischen Geometrie, Poincaré-Vermutung	Begründer der Topologie	Methodologie der Mathematik, Kreativitätstheorie	Vorläufer der Relativität, Himmelsmechanik
Emmy Noether	Verbindung zur Analysis durch Darstellungstheorie	Moderne Algebra (Ringe, Ideale, Darstellungen)	Tensoralgebra auf Mannigfaltigkeiten	Verknüpfungen zu topologischen Gruppen und Homologie	Axiomatische Grundlegung der abstrakten Algebra	Noethers Theorem (Symmetrie und Erhaltungssätze in der Physik)
Georg Cantor	Strenge in der reellen Analysis (Kontinuum, Vollständigkeit)	Kardinalzahlen, Erweiterung des Zahlbegriffs	Präzisierung geometrischer Intuition durch Mengenlehre	Mengen-theoretische Grundlagen der Topologie	Begründer der Mengenlehre, Theorie des Unendlichen	Grundlage für Informationstheorie und Informatik
Kurt Gödel	Indirekter Einfluss (analytische Hierarchie)	Grenzen algebraischer Systeme aufgezeigt	Wenig direkte Arbeit in der Geometrie	Beiträge über Mengenlehre und Modelltheorie	Unvollständigkeitssätze, Unabhängigkeitsergebnisse	Grundlagen der Informatik, Philosophie, Logik in der Berechnung

※Die obige Tabelle wurde in die untenstehende Heatmap umgewandelt (klicken Sie mit dem Mauszeiger, um ein klares Bild anzuzeigen).

※Nachtrag des Blog-Autors 24. Dezember 2025
Von den fünf Architekten der modernen Mathematik stammten vier aus deutschsprachigen Regionen (drei Deutsche und ein Österreicher). Diese Besonderheit gibt einen Einblick in den außergewöhnlichen intellektuellen und kulturellen Aufschwung, der die deutschsprachige Welt vom späten 19. bis zum frühen 20. Jahrhundert wie eine Flutwelle über mehrere Bereiche hinweg erfasste, was ihn umso faszinierender macht.

Five Founders of Modern Mathematics

Question (User):

From the standpoint of 21st-century modern mathematics, please pick out five mathematicians who were active from the late 19th to the early 20th century and who had — or continue to have — the deepest and broadest influence across various branches of mathematics. Please also briefly explain the reasons.

Answer (ChatGPT):

Understood.
From the perspective of 21st-century mathematics, here are five figures active in the late 19th to early 20th century whose influence transcended disciplinary boundaries and has had a profound and lasting impact. Reasons are briefly summarized.

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1. David Hilbert (1862–1943)

• Reason:

  • Through the foundations of mathematics, axiomatization of geometry, Hilbert spaces, and the famous 23 Hilbert problems, his influence extends from pure mathematics to physics (e.g., the formalization of quantum mechanics).

  • His program of axiomatization and formalization directly shaped modern logic and computer science.

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2. Henri Poincaré (1854–1912)

• Reason:

  • One of the founders of topology, and a pioneer of dynamical systems and chaos theory.

  • Anticipated aspects of special relativity, bridging physics and mathematics.

  • His reflections on creativity and the nature of mathematical invention remain influential.

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3. Emmy Noether (1882–1935)

• Reason:

  • Advanced abstract algebra (rings, ideals, representation theory), forming the structural language of modern mathematics.

  • In physics, Noether’s Theorem established the fundamental link between symmetries and conservation laws.

  • A symbolic figure for overcoming barriers of gender in academia.

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4. Georg Cantor (1845–1918)

• Reason:

  • Founder of set theory, enabling rigorous treatment of infinity.

  • Provided foundations for topology, measure theory, and modern analysis.

  • Radically transformed the paradigm of mathematics itself.

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5. Kurt Gödel (1906–1978)

• Reason:

  • His incompleteness theorems demonstrated the limits of Hilbert’s program, deeply influencing mathematics, logic, and philosophy.

  • Showed the independence of the Continuum Hypothesis, reshaping set theory.

  • His work also informed the foundations of computer science and computation theory.

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✅ These five figures can be said to have shaped the very structure of modern mathematical thought, bridging pure and applied mathematics alike.

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Mapping Table: Mathematicians and Their Influence on Major Fields

Mathematician	Analysis	Algebra	Geometry	Topology	Foundations / Logic	Applications (Physics, etc.)
David Hilbert	Rigor in analysis (Hilbert spaces, integral equations)	Impact on algebra through axiomatization	Axiomatization of geometry (Foundations of Geometry)	Contributed to functional analysis and topological concepts	Hilbert’s program, axiomatic foundations	Formalism for quantum mechanics (Hilbert space)
Henri Poincaré	Nonlinear analysis, dynamical systems theory	Early ideas of algebraic topology	Foundations of non-Euclidean geometry, Poincaré conjecture	Founder of topology	Methodology of mathematics and theory of creativity	Relativity precursor, celestial mechanics
Emmy Noether	Links to analysis through representation theory	Modern algebra (rings, ideals, representation)	Tensor algebra on manifolds	Connections to topological groups and homology	Axiomatic foundation of abstract algebra	Noether’s theorem (symmetry and conservation laws in physics)
Georg Cantor	Rigor in real analysis (continuum, completeness)	Cardinal numbers, extension of number systems	Clarified geometric intuition with set-theoretic tools	Set-theoretic foundations of topology	Founder of set theory, theory of infinity	Basis for information theory and computer science
Kurt Gödel	Indirect impact (analytical hierarchy)	Showed limits of algebraic systems	Little direct involvement with geometry	Contributions via set theory and model theory	Incompleteness theorems, independence in set theory	Foundations of computer science, philosophy, logic in computation

※The table above converted into a heatmap is shown below (click with your mouse pointer for a clear image).

※Blog Owner's Addendum 20251224
Of the five architects of modern mathematics, four hailed from German-speaking regions (three Germans and one Austrian). This characteristic offers a glimpse into the extraordinary intellectual and cultural surge that swept through the German-speaking world like a torrent across multiple fields from the late 19th to early 20th century, making it all the more fascinating.

現代数学の５人の建設者たち

〔User's Question〕21世紀の現代数学の見地から評価して、19世紀後半から20世紀初頭にかけて活動した数学者の中で、数学の各分野を超えて、最も深く広範な影響を与えた、あるいは与え続けている数学者を５人ピックアップしてください。また、その理由を簡略に添えてください。

〔ChatGPT's Answer〕21世紀の現代数学の見地から、19世紀後半から20世紀初頭に活動した数学者の中で、分野横断的に「最も深く広範な影響を与えた（与え続けている）」人物を５名挙げます。理由は簡略にまとめます。

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1. ダーフィット・ヒルベルト (David Hilbert, 1862–1943)

• 理由:

  • 数学基礎論、幾何学の公理化、ヒルベルト空間、ヒルベルト問題（23問題）などを通じて、純粋数学から物理学（量子力学の形式化）まで普遍的影響を及ぼした。

  • 「数学のプログラム」としての公理化・形式化は、20世紀後半の論理学・計算機科学にも直結。

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2. アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré, 1854–1912)

• 理由:

  • 位相幾何学の創始者の一人であり、力学系・カオス理論の源流を築いた。

  • 特殊相対性理論の先駆的議論を行い、物理学と数学を架橋。

  • 問題解決アプローチや「数学的創造性」の哲学も後世に影響。

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3. エミー・ネーター (Emmy Noether, 1882–1935)

• 理由:

  • 抽象代数学（環・イデアル・表現論）を大きく推進し、現代数学の言語を形成。

  • 物理学において「ネーターの定理」は、対称性と保存則を結ぶ基本法則として不滅の価値を持つ。

  • 性別の壁を越えて活躍した点でも象徴的存在。

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4. ゲオルク・カントール (Georg Cantor, 1845–1918)

• 理由:

  • 集合論の創始者であり、無限の厳密な取り扱いを可能にした。

  • 位相空間論や測度論、現代解析学の基盤を提供。

  • 数学基礎のパラダイムを根本的に変えた。

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5. クルト・ゲーデル (Kurt Gödel, 1906–1978)

• 理由:

  • 「不完全性定理」により、ヒルベルトのプログラムに限界を示し、数学・論理学・哲学に深遠な影響。

  • 集合論・連続体仮説の独立性を示し、基礎論の現代的展開を決定づけた。

  • コンピュータ科学・計算理論の思想的基礎にも連なる。

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✅ この５人は、純粋数学と応用数学を横断し、現代の数学的思考の構造そのものを形づくった存在といえます。

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数学者と主要分野への影響マッピング表

数学者	解析 (Analysis)	代数 (Algebra)	幾何 (Geometry)	位相・トポロジー (Topology)	数学基礎・論理 (Foundations/Logic)	応用 (Applied/Physics)
ダーフィット・ヒルベルト	解析学の厳密化（ヒルベルト空間、積分方程式）	形式的公理化を通じ代数学にも影響	幾何学の公理化 (『幾何学基礎』)	機能解析と位相概念の確立に寄与	ヒルベルトプログラム、公理論的基礎付け	量子力学の形式化（ヒルベルト空間）
アンリ・ポアンカレ	非線形解析・力学系理論の先駆	代数学的トポロジーの萌芽	幾何学の基礎（非ユークリッド幾何、ポアンカレ予想）	位相幾何学の創始者	数学的方法論と創造性論	相対性理論の先駆的議論、天体力学
エミー・ネーター	表現論を通じ解析と結びつく	近代代数学の基礎（環論、イデアル論）	多様体上のテンソル代数	位相群・ホモロジー論と関連	抽象代数学の公理的基礎付け	物理学のネーターの定理（対称性と保存則）
ゲオルク・カントール	実解析の厳密化（連続体の基礎）	基数論による数体系の拡張	幾何学的直観の基盤整理	集合論的位相空間の萌芽	集合論の創始、無限論の形式化	計算機科学・情報理論に基礎的影響
クルト・ゲーデル	間接的影響（解析的階層理論）	代数的体系の限界を示す	幾何学との直接的関与は少	位相・集合論的モデル理論に寄与	不完全性定理、集合論の独立性結果	計算理論・コンピュータ科学・哲学的応用

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特記事項

• ヒルベルトとゲーデル は「数学基礎論・論理」で象徴的存在。

• ポアンカレとネーター は「構造の発見者」として、現代的分野横断性が顕著。

• カントール は「無限」という概念の取り扱いを数学全体に浸透させた。

※上掲の表を、ヒートマップ化したものが下記（マウス・ポインタでクリックすれば鮮明な画像が出ます）。

※ブログ主による追記 20251224
現代数学の建設者５人中、４人までがドイツ語圏（3人がドイツ人、1人がオーストリア人）の数学者です。この特徴には、19世紀末から20世紀初頭にかけて、多方面で奔流のように現れた《ドイツ語世界》の学術／文化の異様な高揚の一面が伺われ、改めて興味深く感じます。

現代数学におけるお国柄（仏・独・英・露・米・日）／ The national character of modern mathematics (France, Germany, England, Russia, America, Japan)

ChatGPTへの問
「20世紀以降の現代数学の達成において、フランス、ドイツ、イギリス、ロシア、アメリカ、日本、各国の数学者の学問業績に、国家毎の特色、その相互の違いが存在するのか、存在するとすれば、どのような違いなのか、教えてください。」

〔ChatGPTの回答2025/01/12〕

20世紀以降の現代数学における各国の数学者の学問業績には、確かに国家毎の特色が見られます。これらの違いは、教育システム、文化的背景、歴史的な要因、国家の政策、研究資金の投入先など、さまざまな要素に起因しています。以下に主要な国ごとの特色を簡単に説明します。

フランス

• エコール・ポリテクニークやエコール・ノルマル・シュペリウールといった高等教育機関が優れた数学教育を提供し、多くの優れた数学者を輩出してきました。
• ブルバキ派の影響が大きく、抽象的で統一的な数学体系の構築を重視する傾向があります。
• 代数幾何学、確率論、解析学の分野で大きな貢献があります。

ドイツ

• 19世紀から続く優れた数学の伝統を持ち、特に純粋数学、幾何学、解析学、そして集合論などでの貢献が大きいです。
• ゲッティンゲン大学が数学研究の中心地として有名で、多くのノーベル賞受賞者を輩出しています。
• ヒルベルトやガウスのような数学者が国家的英雄として尊敬される文化があります。

イギリス

• 伝統的にケンブリッジ大学とオックスフォード大学が数学研究の中心となっています。
• 応用数学、特に物理学との関係が強く、数値解析や計算機科学の発展に貢献しています。
• ラムゼー理論や解析的整数論などの分野での貢献が目立ちます。

ロシア

• ソ連時代には、国家の支援を受けて数学教育と研究が盛んに行われ、特に関数解析、位相幾何学、力学系の理論で重要な業績があります。
• レフ・ポントリャーギンやアンドレイ・コルモゴロフなどの数学者が有名です。
• ロシアの数学は、理論的な厳密さと独創的な問題解決のアプローチで知られています。

アメリカ

• 20世紀後半には、ヨーロッパからの移民や戦後の経済的発展により、数学研究が急速に発展しました。
• 応用数学、統計学、計算機科学の分野で多くの成果を挙げ、特にマサチューセッツ工科大学 (MIT)、プリンストン大学、スタンフォード大学などが研究の中心です。
• 研究資金が豊富であり、実用的な研究に対する投資が多いことが特徴です。

日本

• 第二次世界大戦後、急速に数学研究が発展し、特に代数幾何学、数論、トポロジーの分野で大きな貢献を果たしています。
• 小平邦彦や志村五郎*などの数学者が国際的に評価されています。
• 独自の教育システムと研究文化が、細かく深い研究を支えています。
  *プリンストン大学数学科による、志村五郎の追悼文はこちらにあります。
  Goro Shimura, a 'giant' of number theory, dies at 89 (2019.05.08)
  上記サイトには、「フェルマーの最終定理」を証明し、フィールズ賞を受賞したワイルズの、志村への最高の賞讃があります。
  ’Fermat’s problem “had always had this great symbolic attraction for number theorists, but it wasn’t important,” said Wiles at the time. But when he discovered its link to Shimura’s work, “which we all agree is tremendously important … the romantic appeal of Fermat’s Last Theorem was linked to the genuine mathematical importance of the Taniyama-Shimura conjecture,” Wiles said.’

総括

各国の数学の発展には、歴史的な文脈や教育制度、文化的な影響が反映されています。例えば、フランスの抽象数学の重視、アメリカの応用数学の強調、ロシアの理論的厳密さなど、それぞれの国が独自の強みと伝統を築いています。これらの違いが相互に補完し合い、現代数学全体の発展を促進しています。

プログラム解明科学とSMT理論／Program-Elucidation Science and SMT Theory

プログラム解明科学とは、故吉田民人が提唱しているものです。従来の、物理学を第一モデルとする自然科学は、自然界に内在する「法則による秩序」を探求する「法則定立科学」であり、人間社会に内在する「規則による秩序」を探求する社会科学は、「プログラム解明科学」と呼ぼう、というアイデアです。

一方、SMT理論とは、
Yoshinori Shiozawa, Masashi Morioka, Kazuhisa Taniguchi
Microfoundations of Evolutionary Economics
Springer; 1st ed. (2019/7/10) , 364 pages, ISBN-10 : 4431552669

によって、全世界に向けて発表された、新古典派経済学を代替する、経済学の基礎理論です。

SMT理論から生み出された第一の重要な発見は、限定合理下にある各企業が需要に応じて各自の産出量を決定する際、各自の過去の産出量実績の数回の平均に基づいて、各企業が需要予想を立てるなら、経済全体の数量調整過程は収束する（つまり発散しない）というものです。この帰結は、各企業が上乗せ価格方式によって販売価格を個別に決定し、個別に産出量を決定する、という完全に分散的意思決定のプロセスのままで、莫大なサイズの経済系が首尾よく運行することを示しています。この「数期の過去実績に基づいて需要予想をする」という点が、個々には人知の及ばない、巨大な市場経済がとりあえず作動するために必要な個別企業のプログラム行動、となる訳です。これが、吉田民人の言う社会科学において解明されるきべき「プログラム」、そのものであることは、自明でしょう。

ということで、Liah Greenfeld への書評も中途半端なので、恐縮ですが備忘録程度の記事となります。

※参照
heuristics としての「数学」について（ or 数学は科学か？）／ On "mathematics" as heuristics (or Is mathematics a science?): 本に溺れたい