Rechenkomplexität und Quantencomputing

Ich habe ChatGPT die folgende Frage gestellt. Ich werde die Antwort von ChatGPT zusammen mit der Frage veröffentlichen.

Frage:

In der Informatik werden zur Messung der Schwierigkeit von Berechnungen häufig Beispiele wie das Rucksackproblem und das Problem des Handlungsreisenden (TSP) herangezogen.
Bei der vollständigen Suche nach optimalen Lösungen wächst die benötigte Zeit proportional zu 2^n für das Rucksackproblem und zu n! für TSP.
Somit explodiert die Rechenzeit bereits dann, wenn n nur zweistellige Werte annimmt. Das bedeutet, dass selbst mit schnelleren Rechnern die Größe der lösbaren Instanzen kaum erweitert werden kann.

In den letzten Jahren ist jedoch die Realisierbarkeit von Quantencomputern ein viel diskutiertes Thema geworden.
Obwohl diese Technologie noch unreif ist, stellt sich die Frage: Wenn ein Quantencomputer die Leistungsfähigkeit heutiger Supercomputer erreichen würde, könnte er die oben beschriebene Explosion der Komplexität vermeiden und optimale Lösungen für Rucksackproblem und TSP leicht finden?

Oder ist diese Problemstellung selbst ein Kategorienfehler und daher nicht sinnvoll oder gültig formuliert?

Antwort von ChatGPT

Die Problematik lässt sich in zwei Hauptpunkte gliedern.

1. Kombinatorische Explosion bei Rucksack- und Handelsreisendenproblemen vs. Quantencomputer

·        Das Rucksackproblem und das Handelsreisendenproblem (TSP) sind typische „NP-schwere“ Probleme.

o   Bei der vollständigen Durchmusterung benötigt das Rucksackproblem (2^n) Zeit, TSP sogar (n!).

·        Quantencomputer ermöglichen in bestimmten Fällen deutliche Beschleunigungen. Beispiele:

o   Primfaktorzerlegung → Mit Shors Algorithmus exponentielle Beschleunigung.

o   Suchprobleme → Mit Grovers Algorithmus wird die Suche von (N) auf (\sqrt{N}) reduziert.

Für NP-schwere Probleme gilt jedoch: Kein bekannter Quantenalgorithmus reduziert exponentielle Laufzeit auf polynomiale Laufzeit.
Das heißt: Es gibt keinen Beleg dafür, dass Quantencomputer „magisch“ NP-schwere Probleme allgemein lösen könnten.

2. Technologischer Fortschritt und die Möglichkeit eines Kategorienfehlers

·        Quantenrechnen bietet vor allem asymptotische Verbesserungen oder Effizienzgewinne in Spezialfällen.

o   Mit Grovers Algorithmus reduziert sich das Rucksackproblem von (2^n) auf (2^{n/2}). Das ist zwar besser, bleibt aber exponentiell.

o   Beim TSP lassen sich in eingeschränkten Fällen (z. B. Dreiecksungleichung erfüllt) gewisse Beschleunigungen erzielen, jedoch keine polynomiale Lösung.

·        Die Annahme „Sobald Quantencomputer existieren, werden NP-schwere Probleme einfach“ entspricht daher fast einem Kategorienfehler.

o   Die Komplexitätstheorie mit Klassenhierarchien (P, NP, BQP usw.) zeigt theoretische Grenzen, die durch bloßen Hardwarefortschritt nicht überwunden werden.

o   BQP (quantum-polynomiale Zeit) wird nicht allgemein als umfassend für NP angesehen.

3. Realistische Perspektiven

·        Die Stärken des Quantenrechnens liegen eher bei Näherungsverfahren oder heuristischen Methoden, nicht bei exakter Optimierung.

·        Quanten-Annäherungsverfahren (z. B. D-Wave) werden bereits für das Auffinden nahezu optimaler Lösungen von Rucksack- oder TSP-Instanzen auf praktischen Skalen erforscht.

·        Exakte Lösungen für große Eingaben bleiben jedoch auch mit fortgeschrittener Quantentechnologie schwer erreichbar.

✅ Zusammenfassung

·        Auch mit Quantencomputern werden exakte Lösungen für Rucksack- und TSP-Probleme nicht unbedingt „einfach“.

·        Erwartbar sind nur teilweise Beschleunigungen und Verbesserungen bei Näherungs- und Heuristikmethoden.

·        Die Vorstellung „Quantenrechner = Universallöser für NP-schwere Probleme“ ist ein Missverständnis (Kategorienfehler).

·        Die Problemstellung ist sinnvoll, aber die erhofften Effekte des Quantenrechnens dürfen nicht überschätzt werden.

Diagram

·        P: Probleme, die in Polynomialzeit lösbar sind

·        NP: Probleme, deren Lösung in Polynomialzeit überprüfbar ist

·        NP-vollständig (NP-complete): Die Klasse der schwierigsten repräsentativen Probleme innerhalb von NP

·        NP-schwer (NP-hard): Probleme, die mindestens so schwierig wie NP sind und auch außerhalb von NP liegen können

·        BQP: Probleme, die durch Quantenberechnung in Polynomialzeit lösbar sind (einschließlich zum Beispiel der Primfaktorzerlegung, jedoch nicht notwendigerweise ganz NP)

👉 Wie dieses Diagramm zeigt, besteht das derzeitige Verständnis darin, dass Quantenberechnung (BQP) NP-schwere Probleme im Allgemeinen nicht in Polynomialzeit lösen kann.

Diagram（Hover your mouse pointer over the image below to display a clear separate screen.）

計算複雑性と量子計算

ChatGPTに以下の質問をしました。ChatGPTの回答ともに掲示します。

質問:
計算機科学において、計算の難しさを計量する際の問題例として、ナップザック問題や巡回セールスマン問題が取り上げられます。
それらに対して、最適解をしらみつぶし法で探索すると、入力のサイズ n に対応する計算時間は、ナップザック問題では、２の n乗に比例して増加し、
巡回セールスマン問題では、nの階乗に比例して増加します。こうなると、入力サイズ n が２桁の範囲になるだけで、簡単に計算量が爆発します。
つまり、仮に計算機の演算速度が速くなっても、この種の問題では、最適解探索が実行可能な問題のサイズの増加は困難です。

しかし、近年、量子計算機の実装可能性が話題になっています。
まだテクノロジー的に未成熟ですが、もしこの技術が成熟し、現代のスーパーコンピュータ並みの feasibility を持つことができたなら、
上記の計算量爆発の問題は回避され、ナップザック問題や巡回セールスマン問題の最適解は容易に探索できるようになるのでしょうか。

あるいは、この２つのテーマを結びつける問題設定には、隠れたカテゴリー・ミステイクが潜在していて、有効あるいは有意味な問題設定ではないのでしょうか。

ChatGPT's Answer

論点を整理すると次の二点に分かれます。

1. ナップザック問題・巡回セールスマン問題の計算量爆発と量子計算機

·        ナップザック問題や**巡回セールスマン問題（TSP）**は典型的な「NP困難」問題です。
　　　o   ブルートフォース探索だとナップザックは (2^n)、TSPは (n!) の時間がかかります。

·        量子計算機は確かに一部の問題で大きな速度向上をもたらします。たとえば：
　　o   素因数分解 → Shorのアルゴリズムで指数関数的に速くなる。
　　o   探索系の問題 → Groverのアルゴリズムで全探索を (\sqrt{N}) に短縮できる。

しかし、NP困難問題に対して「指数時間が多項式時間に劇的に落ちる」ことを保証する量子アルゴリズムは 現在のところ存在しません。
つまり、量子計算が「魔法のように」NP困難問題を解決できる、という一般的な証拠はありません。

2. 技術的進歩とカテゴリー・ミステイクの可能性

·        量子計算で得られるのは 漸近的改善 や 特殊ケースでの効率化 です。
o   例えばGrover探索を用いてナップザック問題を解くと、全探索が (2^n \to 2^{n/2}) に短縮されます。これは改善ではあるが、依然として指数関数時間です。

o   TSPについても、特殊な制約がある場合（例：距離が三角不等式を満たす場合）には量子アルゴリズムで多少の効率化が議論されていますが、多項式時間解法には到達していません。

·        よって「量子計算機が完成すればNP困難問題は簡単に解ける」という理解は カテゴリー・ミステイク に近いです。

o   計算複雑性理論の階層構造（P、NP、BQPなど）は、ハードウェアの進歩だけでは越えられない理論的な壁を示しています。

o   BQP（量子多項式時間）はNP全体を含むと広く信じられているわけではありません。

3. 現実的な見通し

·        最適解探索ではなく、近似解やヒューリスティックを量子計算で高速化する、という方向には可能性があります。

·        たとえば量子アニーリング（D-Wave など）はナップザック問題やTSPの近似解を「現実的なサイズ」で探索する応用研究が盛んです。

·        ただし「厳密な最適解を、大規模入力に対して効率的に得る」ことは、量子計算が成熟しても難しいと考えられます。

✅ まとめ
量子計算機が完成しても、ナップザック問題や巡回セールスマン問題の最適解探索が「容易」になる保証はない。

·        得られるのは部分的な効率改善や近似的な解法の加速。

·        「量子計算機＝NP困難問題の万能解法」という理解は誤解（カテゴリー・ミステイク）にあたる。

·        したがって、問題設定自体は有意味だが、量子計算に期待される効果を誇張してはいけない。

 

図解

• P：多項式時間で解ける問題
• NP：解が与えられたときに多項式時間で検証できる問題
• NP-complete：NP内で最も難しいとされる代表的問題群
• NP-hard：NPの外も含む「少なくともNPと同じくらい難しい」問題
• BQP：量子計算で多項式時間に解ける問題（素因数分解などが含まれるが、NP全体を含むとは限らない）

👉 この図からわかるように、量子計算（BQP）はNP困難問題を一般に多項式時間で解けるわけではない、というのが現在の理解です。

Diagram （図にマウスポインタを重ねるとクリアな別画面がでます）

Fünf Begründer der modernen Mathematik

Frage (Benutzer):

Aus der Sicht der Mathematik des 21. Jahrhunderts: Bitte nennen Sie fünf Mathematiker, die zwischen dem späten 19. und frühen 20. Jahrhundert tätig waren und die — fächerübergreifend — den tiefsten und weitreichendsten Einfluss ausgeübt haben oder weiterhin ausüben. Fügen Sie bitte auch kurz die Gründe hinzu.

Antwort (ChatGPT):

Verstanden.
Aus der Sicht der modernen Mathematik im 21. Jahrhundert sind dies fünf Persönlichkeiten, die im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert tätig waren und deren Einfluss die Disziplinen überschritt und bis heute tief und nachhaltig wirkt. Die Gründe sind hier kurz zusammengefasst.

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1. David Hilbert (1862–1943)

• Grund:

  • Durch Grundlagenforschung, Axiomatisierung der Geometrie, Hilberträume und die berühmten 23 Hilbertschen Probleme übte er Einfluss von der reinen Mathematik bis zur Physik (z. B. der Formalisierung der Quantenmechanik) aus.

  • Sein Programm der Axiomatisierung und Formalisierung prägte direkt die moderne Logik und Informatik.

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2. Henri Poincaré (1854–1912)

• Grund:

  • Mitbegründer der Topologie und Wegbereiter der Theorie dynamischer Systeme und des Chaos.

  • Führte Überlegungen zur speziellen Relativitätstheorie und verband Mathematik mit Physik.

  • Seine Reflexionen über Kreativität und mathematische Erfindung bleiben bis heute wirksam.

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3. Emmy Noether (1882–1935)

• Grund:

  • Trieb die abstrakte Algebra (Ringe, Ideale, Darstellungstheorie) voran und schuf die strukturelle Sprache der modernen Mathematik.

  • In der Physik etablierte der Noethersche Satz den fundamentalen Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen.

  • Symbolfigur für die Überwindung geschlechtsspezifischer Barrieren in der Wissenschaft.

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4. Georg Cantor (1845–1918)

• Grund:

  • Begründer der Mengenlehre und Ermöglicher einer strengen Behandlung des Unendlichen.

  • Legte Grundlagen für Topologie, Maßtheorie und moderne Analysis.

  • Veränderte das Paradigma der Mathematik radikal.

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5. Kurt Gödel (1906–1978)

• Grund:

  • Mit den Unvollständigkeitssätzen zeigte er die Grenzen des Hilbertschen Programms und beeinflusste Mathematik, Logik und Philosophie nachhaltig.

  • Bewies die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese und formte die moderne Mengenlehre.

  • Seine Arbeiten beeinflussten auch die Grundlagen der Informatik und der Berechnungstheorie.

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✅ Diese fünf Persönlichkeiten haben die Struktur des modernen mathematischen Denkens geprägt und Reine und Angewandte Mathematik gleichermaßen verbunden.

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Zuordnungstabelle: Mathematiker und ihr Einfluss auf die Hauptgebiete

Mathematiker	Analysis	Algebra	Geometrie	Topologie	Grundlagen / Logik	Anwendungen (Physik usw.)
David Hilbert	Strenge in der Analysis (Hilberträume, Integralgleichungen)	Einfluss auf die Algebra durch Axiomatisierung	Axiomatisierung der Geometrie (Grundlagen der Geometrie)	Beiträge zur Funktionalanalysis und topologischen Begriffen	Hilberts Programm, axiomatische Grundlegung	Formulierung der Quantenmechanik (Hilbertraum)
Henri Poincaré	Nichtlineare Analysis, Theorie dynamischer Systeme	Frühformen der algebraischen Topologie	Grundlagen der nichteuklidischen Geometrie, Poincaré-Vermutung	Begründer der Topologie	Methodologie der Mathematik, Kreativitätstheorie	Vorläufer der Relativität, Himmelsmechanik
Emmy Noether	Verbindung zur Analysis durch Darstellungstheorie	Moderne Algebra (Ringe, Ideale, Darstellungen)	Tensoralgebra auf Mannigfaltigkeiten	Verknüpfungen zu topologischen Gruppen und Homologie	Axiomatische Grundlegung der abstrakten Algebra	Noethers Theorem (Symmetrie und Erhaltungssätze in der Physik)
Georg Cantor	Strenge in der reellen Analysis (Kontinuum, Vollständigkeit)	Kardinalzahlen, Erweiterung des Zahlbegriffs	Präzisierung geometrischer Intuition durch Mengenlehre	Mengen-theoretische Grundlagen der Topologie	Begründer der Mengenlehre, Theorie des Unendlichen	Grundlage für Informationstheorie und Informatik
Kurt Gödel	Indirekter Einfluss (analytische Hierarchie)	Grenzen algebraischer Systeme aufgezeigt	Wenig direkte Arbeit in der Geometrie	Beiträge über Mengenlehre und Modelltheorie	Unvollständigkeitssätze, Unabhängigkeitsergebnisse	Grundlagen der Informatik, Philosophie, Logik in der Berechnung

※Die obige Tabelle wurde in die untenstehende Heatmap umgewandelt (klicken Sie mit dem Mauszeiger, um ein klares Bild anzuzeigen).

Five Founders of Modern Mathematics

Question (User):

From the standpoint of 21st-century modern mathematics, please pick out five mathematicians who were active from the late 19th to the early 20th century and who had — or continue to have — the deepest and broadest influence across various branches of mathematics. Please also briefly explain the reasons.

Answer (ChatGPT):

Understood.
From the perspective of 21st-century mathematics, here are five figures active in the late 19th to early 20th century whose influence transcended disciplinary boundaries and has had a profound and lasting impact. Reasons are briefly summarized.

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1. David Hilbert (1862–1943)

• Reason:

  • Through the foundations of mathematics, axiomatization of geometry, Hilbert spaces, and the famous 23 Hilbert problems, his influence extends from pure mathematics to physics (e.g., the formalization of quantum mechanics).

  • His program of axiomatization and formalization directly shaped modern logic and computer science.

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2. Henri Poincaré (1854–1912)

• Reason:

  • One of the founders of topology, and a pioneer of dynamical systems and chaos theory.

  • Anticipated aspects of special relativity, bridging physics and mathematics.

  • His reflections on creativity and the nature of mathematical invention remain influential.

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3. Emmy Noether (1882–1935)

• Reason:

  • Advanced abstract algebra (rings, ideals, representation theory), forming the structural language of modern mathematics.

  • In physics, Noether’s Theorem established the fundamental link between symmetries and conservation laws.

  • A symbolic figure for overcoming barriers of gender in academia.

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4. Georg Cantor (1845–1918)

• Reason:

  • Founder of set theory, enabling rigorous treatment of infinity.

  • Provided foundations for topology, measure theory, and modern analysis.

  • Radically transformed the paradigm of mathematics itself.

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5. Kurt Gödel (1906–1978)

• Reason:

  • His incompleteness theorems demonstrated the limits of Hilbert’s program, deeply influencing mathematics, logic, and philosophy.

  • Showed the independence of the Continuum Hypothesis, reshaping set theory.

  • His work also informed the foundations of computer science and computation theory.

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✅ These five figures can be said to have shaped the very structure of modern mathematical thought, bridging pure and applied mathematics alike.

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Mapping Table: Mathematicians and Their Influence on Major Fields

Mathematician	Analysis	Algebra	Geometry	Topology	Foundations / Logic	Applications (Physics, etc.)
David Hilbert	Rigor in analysis (Hilbert spaces, integral equations)	Impact on algebra through axiomatization	Axiomatization of geometry (Foundations of Geometry)	Contributed to functional analysis and topological concepts	Hilbert’s program, axiomatic foundations	Formalism for quantum mechanics (Hilbert space)
Henri Poincaré	Nonlinear analysis, dynamical systems theory	Early ideas of algebraic topology	Foundations of non-Euclidean geometry, Poincaré conjecture	Founder of topology	Methodology of mathematics and theory of creativity	Relativity precursor, celestial mechanics
Emmy Noether	Links to analysis through representation theory	Modern algebra (rings, ideals, representation)	Tensor algebra on manifolds	Connections to topological groups and homology	Axiomatic foundation of abstract algebra	Noether’s theorem (symmetry and conservation laws in physics)
Georg Cantor	Rigor in real analysis (continuum, completeness)	Cardinal numbers, extension of number systems	Clarified geometric intuition with set-theoretic tools	Set-theoretic foundations of topology	Founder of set theory, theory of infinity	Basis for information theory and computer science
Kurt Gödel	Indirect impact (analytical hierarchy)	Showed limits of algebraic systems	Little direct involvement with geometry	Contributions via set theory and model theory	Incompleteness theorems, independence in set theory	Foundations of computer science, philosophy, logic in computation

※The table above converted into a heatmap is shown below (click with your mouse pointer for a clear image).

現代数学の５人の建設者たち

〔User's Question〕21世紀の現代数学の見地から評価して、19世紀後半から20世紀初頭にかけて活動した数学者の中で、数学の各分野を超えて、最も深く広範な影響を与えた、あるいは与え続けている数学者を５人ピックアップしてください。また、その理由を簡略に添えてください。

〔ChatGPT's Answer〕21世紀の現代数学の見地から、19世紀後半から20世紀初頭に活動した数学者の中で、分野横断的に「最も深く広範な影響を与えた（与え続けている）」人物を５名挙げます。理由は簡略にまとめます。

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1. ダーフィット・ヒルベルト (David Hilbert, 1862–1943)

• 理由:

  • 数学基礎論、幾何学の公理化、ヒルベルト空間、ヒルベルト問題（23問題）などを通じて、純粋数学から物理学（量子力学の形式化）まで普遍的影響を及ぼした。

  • 「数学のプログラム」としての公理化・形式化は、20世紀後半の論理学・計算機科学にも直結。

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2. アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré, 1854–1912)

• 理由:

  • 位相幾何学の創始者の一人であり、力学系・カオス理論の源流を築いた。

  • 特殊相対性理論の先駆的議論を行い、物理学と数学を架橋。

  • 問題解決アプローチや「数学的創造性」の哲学も後世に影響。

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3. エミー・ネーター (Emmy Noether, 1882–1935)

• 理由:

  • 抽象代数学（環・イデアル・表現論）を大きく推進し、現代数学の言語を形成。

  • 物理学において「ネーターの定理」は、対称性と保存則を結ぶ基本法則として不滅の価値を持つ。

  • 性別の壁を越えて活躍した点でも象徴的存在。

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4. ゲオルク・カントール (Georg Cantor, 1845–1918)

• 理由:

  • 集合論の創始者であり、無限の厳密な取り扱いを可能にした。

  • 位相空間論や測度論、現代解析学の基盤を提供。

  • 数学基礎のパラダイムを根本的に変えた。

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5. クルト・ゲーデル (Kurt Gödel, 1906–1978)

• 理由:

  • 「不完全性定理」により、ヒルベルトのプログラムに限界を示し、数学・論理学・哲学に深遠な影響。

  • 集合論・連続体仮説の独立性を示し、基礎論の現代的展開を決定づけた。

  • コンピュータ科学・計算理論の思想的基礎にも連なる。

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✅ この５人は、純粋数学と応用数学を横断し、現代の数学的思考の構造そのものを形づくった存在といえます。

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数学者と主要分野への影響マッピング表

数学者	解析 (Analysis)	代数 (Algebra)	幾何 (Geometry)	位相・トポロジー (Topology)	数学基礎・論理 (Foundations/Logic)	応用 (Applied/Physics)
ダーフィット・ヒルベルト	解析学の厳密化（ヒルベルト空間、積分方程式）	形式的公理化を通じ代数学にも影響	幾何学の公理化 (『幾何学基礎』)	機能解析と位相概念の確立に寄与	ヒルベルトプログラム、公理論的基礎付け	量子力学の形式化（ヒルベルト空間）
アンリ・ポアンカレ	非線形解析・力学系理論の先駆	代数学的トポロジーの萌芽	幾何学の基礎（非ユークリッド幾何、ポアンカレ予想）	位相幾何学の創始者	数学的方法論と創造性論	相対性理論の先駆的議論、天体力学
エミー・ネーター	表現論を通じ解析と結びつく	近代代数学の基礎（環論、イデアル論）	多様体上のテンソル代数	位相群・ホモロジー論と関連	抽象代数学の公理的基礎付け	物理学のネーターの定理（対称性と保存則）
ゲオルク・カントール	実解析の厳密化（連続体の基礎）	基数論による数体系の拡張	幾何学的直観の基盤整理	集合論的位相空間の萌芽	集合論の創始、無限論の形式化	計算機科学・情報理論に基礎的影響
クルト・ゲーデル	間接的影響（解析的階層理論）	代数的体系の限界を示す	幾何学との直接的関与は少	位相・集合論的モデル理論に寄与	不完全性定理、集合論の独立性結果	計算理論・コンピュータ科学・哲学的応用

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特記事項

• ヒルベルトとゲーデル は「数学基礎論・論理」で象徴的存在。

• ポアンカレとネーター は「構造の発見者」として、現代的分野横断性が顕著。

• カントール は「無限」という概念の取り扱いを数学全体に浸透させた。

※上掲の表を、ヒートマップ化したものが下記（マウス・ポインタでクリックすれば鮮明な画像が出ます）。

現代数学におけるお国柄（仏・独・英・露・米・日）／ The national character of modern mathematics (France, Germany, England, Russia, America, Japan)

ChatGPTへの問
「20世紀以降の現代数学の達成において、フランス、ドイツ、イギリス、ロシア、アメリカ、日本、各国の数学者の学問業績に、国家毎の特色、その相互の違いが存在するのか、存在するとすれば、どのような違いなのか、教えてください。」

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プログラム解明科学とSMT理論／Program-Elucidation Science and SMT Theory

プログラム解明科学とは、故吉田民人が提唱しているものです。従来の、物理学を第一モデルとする自然科学は、自然界に内在する「法則による秩序」を探求する「法則定立科学」であり、人間社会に内在する「規則による秩序」を探求する社会科学は、「プログラム解明科学」と呼ぼう、というアイデアです。

一方、SMT理論とは、
Yoshinori Shiozawa, Masashi Morioka, Kazuhisa Taniguchi
Microfoundations of Evolutionary Economics
Springer; 1st ed. (2019/7/10) , 364 pages, ISBN-10 : 4431552669

によって、全世界に向けて発表された、新古典派経済学を代替する、経済学の基礎理論です。

SMT理論から生み出された第一の重要な発見は、限定合理下にある各企業が需要に応じて各自の産出量を決定する際、各自の過去の産出量実績の数回の平均に基づいて、各企業が需要予想を立てるなら、経済全体の数量調整過程は収束する（つまり発散しない）というものです。この帰結は、各企業が上乗せ価格方式によって販売価格を個別に決定し、個別に産出量を決定する、という完全に分散的意思決定のプロセスのままで、莫大なサイズの経済系が首尾よく運行することを示しています。この「数期の過去実績に基づいて需要予想をする」という点が、個々には人知の及ばない、巨大な市場経済がとりあえず作動するために必要な個別企業のプログラム行動、となる訳です。これが、吉田民人の言う社会科学において解明されるきべき「プログラム」、そのものであることは、自明でしょう。

ということで、Liah Greenfeld への書評も中途半端なので、恐縮ですが備忘録程度の記事となります。

※参照
heuristics としての「数学」について（ or 数学は科学か？）／ On "mathematics" as heuristics (or Is mathematics a science?): 本に溺れたい

heuristics としての「数学」について（ or 数学は科学か？）／ On "mathematics" as heuristics (or Is mathematics a science?)

　数学がトートロジー tautology であるにも関わらず、「発見法的 heuristic」に強力である理由を２点考えてみました。

１）多次元で複雑な「思考 thinking」を、演算化（算術化）し、一次元の記号列に次元低下する。著しく「思考経済 Thinking economy （Denkökonomie）」的と言えるでしょう。

　中学受験では、「つるかめ算」をよく「面積図」化しますが、中学数学でいったん連立方程式の手法に慣れると二度と以前の解法に戻れなくなるのも、方程式の「思考経済」効果の一例です。

続きを読む "heuristics としての「数学」について（ or 数学は科学か？）／ On "mathematics" as heuristics (or Is mathematics a science?)"

Warren Weaver, Science and complexity, 1948

　表題の記念碑的論文が、PDFでネット上からDL可能であることを知りましたので、知の共有化の一環として、弊blogにてもannounceいたします。

１）学会誌サイト
Science and complexity – Emergence: Complexity and Organization
※こちらの、記事本文の最下段の、here から。

２）本論文は、public domain ということなので、弊blogからもDL可能としました。
ダウンロード - 194820science20and20complexity2028weaver29.pdf

■Weaverと塩沢由典
　私が、本論文を知ったのは、塩沢由典著『複雑さの帰結』(1997年)ＮＴＴ出版、pp.6-7、においてです。複雑系科学からの本論文への立ち入ったコメントとしては、日本で最初のものだと思います。

　私がそうした複雑さにどうして注目するようになったかですか。たまたま『数学セミナー』に「経済学はどんな数学を必要とするか」という一文を寄稿したことか縁なのです。そのおなじ号に隣り合って政治学の猪口孝氏が「政治学からのラブコール」という文章を書いていて、ワレン・ウィーヴァーの「科学と複雑さ」という論文を紹介していた。猪口さんはハイエクからこの論文を知ったのでしよう。ハイエクがその論文を種に「複雑現象の理論」という論文を書いている。私もハイエクのその論文は読んでいたにもかわらず、ワレン・ウィーヴァーの存在と意義にまったく気づかなかった。それであわててワレン・ウィーヴァーの論文にあたったわけです。それは一九四ハ年に雑誌『アメリカン・サイエンティスト』に載ったもので、それを読んでみて大変な先見の明のある人だと感心しました。
　ウィーヴァーはその論文にこう書いていたわけです。一九世紀までの学問は～主に自然科学ですが～、単純な体系を扱ってきた。一九世紀の末になると統計力学が出てきて、彼の言葉で言うと非組織的な複雑さを科学が扱うようになる。統計力学は気体を分子が相互干渉なく飛び交っていて、ぶつかったら跳ね返って飛んでいく集団と捉えた。衝突だけが問題ですが、統計力学はそれを確率論の言葉で独立の過程と捉えた。統計学が非常にうまく使える体系の時代が二〇世紀の半ばぐらいまでの学問だったというわけです。しかし、彼はその先を考えていて、多数の粒子なり主体なりがもう少し複雑に干渉し合っている体系があるんじやないか、自然科学はまだまったくといっていいほど手をつけていないけれども、二〇世紀の後半にはそういう学問を発展させなければならない。こう書いている。ウィーヴァーは情報理論のシャノンと共同研究をやったひとで、情報科学に関わっていたことがそういう考えを生んだのだろうと思いますが、いずれにせよ私の求めていた概念はまさしくこれだったんだなと思ったわけです。
塩沢由典著『複雑さの帰結』(1997年)ＮＴＴ出版、pp.6-7

■From Weaver to Hayek
　この Weaver 論文への社会科学からの最初期の応答は Hayek でした。上記の塩沢の本論文へのコメントで、Hayek の The Theory of  Complex Phenomena(1964) を読んでいたのに Weaver に気づかなかった、と発言しているのも、実は無理はありません。HayekからのWeaver 論文へのコメントとしては、下記のほうがより核心をついたコメントになっているからです。

A. Hayek, Degrees of Explanation (1955)の脚注
See, Studies of Philosophy, Politics and Economics, 1967, London, Routledge & Kegan Paul, pp.3-4 f.n.1

1 Modern physics has of course resorted to statistics to deal with systems of very large numbers of variables, but this does not appear to me to be in conflict with the observation in the text. The statistical technique is in effect a manner of reducing the number of separate entities, connected by laws which have to be stated, to comparatively few (namely the statistical collectives) and not a technique for dealing with the interplay of a large number of such significantly independent variables as the individuals in a social order. The problems of complexity to which the further discussion refers are of the kind which Warren Weaver has described as 'problems of organized complexity' as distinguished from those 'problems of disorganized complexity' with which we can deal by statistical techniques. Cf. Warren Weaver, 'Science and Complexity', American Scientist, 1948, and now the fuller version of his views in 'A Quarter Century in the Natural Sciences'. The Rockefeller Foundation Annual Report, 195 8, pp. 1-15.

■ 覚書結語
　以上、ご紹介と気付いた２点ばかり。私自身のコメントは、後日に期します。